Question

En la actualidad, las ciudades A y B tienen poblaciones de 70 000 y 60 000 habitantes, respectivamente. La ciudad A crece a razón de 4% anual y la de B a razón de 5% anual.

A) Determine la diferencia entre las poblaciones al final de cinco años. Dé su respuesta al entero más cercano.

B) Identifique la fórmula o ecuación que permite determinar la población de las ciudades A y B pasados x años.

C) En qué tiempo las poblaciones coinciden?

Answer 1

La ciudad A tendrá una población en el año n de:

$70000*(1+0,04)^{n}  = 70000*(1,04)^{n}$

La ciudad B tendrá una población en el año n de:

$60000*(1+0,05)^{n}  = 60000*(1,05)^{n}$

A) Determine la diferencia entre las poblaciones al final de cinco años. Dé su respuesta al entero más cercano.

En 5 años la población de A sera: $70000*(1,04)^{5}$

A= 85165,70 habitantes ≈ 85166 habitantes

En 5 años la población de B sera: $60000*(1,05)^{5}$

A= 76576,89 habitantes ≈ 76577 habitantes

La diferencia sera: 85166- 76577 = 4989 donde la Ciudad A tendra mas habitantes que la B.

B) Identifique la fórmula o ecuación que permite determinar la población de las ciudades A y B pasados x años.  

Las formulas fueron dadas en el item anterior y son

Para la ciudad A: $70000*(1+0,04)^{n}  = 70000*(1,04)^{n}$

Para la ciudad B: $60000*(1+0,05)^{n}  = 60000*(1,05)^{n}$

C) En qué tiempo las poblaciones coinciden?

Igualamos las dos ecuaciones:

$70000*(1,04)^{n}  = 60000*(1,05)^{n}$

$\frac{70000}{60000}= (\frac{1.05}{1.04} )^{n}$

$ln(\frac{7}{6})= ln((\frac{1.05}{1.04} ))^{n}$

$ln(\frac{7}{6})= n*ln(\frac{1.05}{1.04} )$

$ln(\frac{7}{6})/ ln(\frac{1.05}{1.04} )= n$

n= 16,1086

En aproximadamente 16 años tendrán la misma población