En el velocímetro de un automóvil se registran los valores de velocidad en cada uno de los tiempos. (ver la tabla)
Velocidad tiempo1. ¦ " 2. ¦ " 3. ¦4.
m/s. 9,5. ¦ 8,5 ¦ 20,2 ¦ 28,4
Tiempo
En segundos. 3,0 ¦ 6,8 ¦ 12,5 ¦ 16,2
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Tiempo
(minutos)
0
5
10
15
20
25
3
Velocidad
(km/h)
72
84
66
69
78
60
75
Para trabajar el tiempo y la velocidad en unidades que sean coherentes convertimos las diferentes lecturas de la velocidad en kilómetros por minuto.
Tiempo
(minutos)
0 5 10 15 20 25 30
Velocidad
(km/minuto)
1,2 1,4 1,1 1,15 1,3 1 1,25
Podemos suponer que, durante cada intervalo la velocidad no cambia demasiado. Estamos en condiciones estimar la distancia recorrida durante ese tiempo al suponer que la velocidad se mantiene constante.
Podríamos suponer que, durante el primer intervalo la velocidad se mantiene igual a la inicial esto es 1,2 . Esto nos permite asegurar que la distancia recorrida durante los primeros cinco minutos será
d1= 1,2 . 5 min = 6 km.
De la misma manera podemos encontrar la distancia en cada intervalo y finalmente la distancia total recorrida
Intervalo
Distancia (en kilómetros)
1
1,2 . 5 = 6
2
1,4 . 5 = 7
3
1,1 . 5 = 5,5
4
1,15 . 5 = 5,75
5
1,3 . 5 = 6,5
6
1 . 5 = 5
Distancia total recorrida: 35,75 km
De la misma manera podemos hacer los cálculos utilizando la velocidad al final de cada período.
Intervalo
Distancia (en kilómetros)
1
1,4 . 5 = 7
2
1,1 . 5 = 5,5
3
1,15 . 5 = 5,75
4
1,3 . 5 = 6,5
5
1 . 5 = 5
6
1,25 . 5 = 6,25
Distancia total recorrida: 36 km
También podemos considerar otro valor de la velocidad en un tiempo intermedio entre el inicio y el final en cada uno de los intervalos, por ejemplo
Intervalo
Velocidad
(en kilómetros por minuto)
Distancia (en kilómetros)
1 1,30 1,30 . 5 = 6,50
2 1,25 1,25 . 5 = 6,25
3 1,13 1,13 . 5 = 5,65
4 1,22 1,22 . 5 = 6,10
5 1,15 1,15 . 5 = 5,75
6 1,12 1,12 . 5 = 5,60
Distancia total recorrida: 35,85 km
Si realizamos las gráficas de la velocidad con respecto al tiempo en cada uno de los casos planteados, ¿qué podemos decir con respecto a la distancia y el área de los rectángulos de base igual a la longitud de cada intervalo y altura coincidente con el valor conocido de la velocidad en cada uno de ellos?
El área del primer rectángulo "medida de la base por medida de la altura" (1,2 . 5 = 6) coincide con la distancia recorrida en los primeros cinco minutos, si tomamos la velocidad inicial como constante en todo el intervalo (según los primeros cálculos). Podemos interpretar el área de cada rectángulo como una distancia dado que la altura representa la velocidad y la base el tiempo. La suma de las áreas de todos los rectángulos es 35,75 y coincide con la primer estimación realizada de la distancia total recorrida.
De la misma manera podemos hacer el análisis tomando la velocidad final de cada intervalo o bien la velocidad en un tiempo intermedio.
Para una mejor estimación debemos considerar intervalos de tiempo cada vez más pequeños.
Obtuvimos tres estimaciones de la distancia buscada. Si quisiéramos una estimación más exacta podríamos que tomar las lecturas de la velocidad cada dos minutos, un minuto, treinta segundos, diez, cinco, tres, dos, uno o fracciones de segundo cada vez más pequeñas. Para una mejor estimación debemos considerar intervalos de tiempo cada vez más pequeños y la cantidad de sumandos en e1l cálculo de la distancia acumulada será cada vez mayor.
Podemos concluir que la distancia recorrida en cada intervalo resulta di = vi . D ti
La distancia total recorrida, es decir los resultados acumulados para razones de cambio variables (velocidad) es dt = v1 . D t1 + v2 . D t2 + v3 . D t3 + ........... + vn . D tn donde D t es una número cada vez más pequeño y por lo tanto la cantidad n de intervalos tiende a infinito. Por esto resulta:
Distancia total recorrida = dt = = donde vi puede ser la velocidad al inicio, al final o en un tiempo intermedio en cada uno de los subintervalos considerados.
Para tener en cuenta: para hallar la distancia recorrida por un móvil si se conoce la velocidad del mismo en todos los momentos necesitamos resolver un tipo especial de límite.
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Explicación:ESTO ES TODO