En el salto de longitud, una atleta se lanza en un ángulo por encima del suelo y cae a la misma altura, tratando de alcanzar la máxima distancia horizontal. Suponga que en la Tierra, ella permanece en el aire durante un tiempo T, alcanza una altura máxima h y una distancia horizontal D. Si ella saltara exactamente de la misma forma durante una competencia en Marte, donde gMarte es igual a 0.379 del valor de g en la Tierra, determine su tiempo en el aire, su altura máxima y la distancia horizontal alcanzada. Exprese cada una de estas tres cantidades en términos de su valor en la Tierra. Ignore la resistencia del aire en ambos planetas
Respuestas a la pregunta
Para determinar el tiempo en el aire del atleta, su altura máxima y la distancia horizontal alcanzada, tanto en la Tierra como en Marte, durante el salto de longitud, se pueden utilizar las ecuaciones cinemáticas del movimiento parabólico:
Componente de velocidad horizontal:
Vx= Vxo= VoCosθo= constante (1)
Componente de velocidad vertical:
Vy= Vyo-gt= VoSenθo-gt (2)
Componente de la posición horizontal:
x= Vxot= (VoCosθo)t (3)
Componente de posición vertical:
y= Vyot - (1/2)gt²= (VoSenθo)t - (1/2)gt² (4)
Tiempo en el aire:
Cuando se alcanza la altura máxima, Vy=0.
Utilizando la ecuación (2):
0= VoSenθo-gt₁
t₁= VoSenθo/ g
Donde t₁ es el tiempo necesario para llegar a la altura máxima. Debido a la simetría del movimiento vertical, transcurre un intervalo de tiempo idéntico para que el atleta retorne al suelo. Por tanto, el tiempo total en el aire es:
t= 2t₁
t= 2VoSenθo/ g
En Marte:
gmarte= 0.379g
tmarte= 2VoSenθo/ gmarte
tmarte= 2VoSenθo/ 0.379g
Altura máxima:
La altura máxima se presenta cuando t= t₁. Reemplazando la expresión de t₁ en la ecuación (4) y sustituyendo y por h:
h= (VoSenθo)(VoSenθo/ g) - (1/2)g(VoSenθo/ g)²
h= Vo²Sen²θo/2g
En Marte:
hmarte= Vo²Sen²θo/2(0.379g) = Vo²Sen²θo/0.758g
Distancia horizontal alcanzada:
El alcance, D, es la distancia horizontal recorrida en el tiempo total que se permance en el aire, t= 2t₁.
Utilizando la ecuación (3):
D= (VoCosθo)2t₁ = (VoCosθo)*2VoSenθo/ g
Como 2θ= 2 senθ Cosθ
D= Vo²Sen2θo/ g
En Marte:
Dmarte= Vo²Sen2θo/ 0.379g