Question

En el momento que el semáforo se pone en verde, un automóvil inicia la marcha con aceleración constante de 2 m/s2. En ese mismo momento un camión que lleva velocidad constante de 20 m/s le adelanta.

¿A qué distancia alcanzará más adelante el automóvil al camión?
¿A qué velocidad irá en ese instante?

Es un problema de aplicación de integrales.

Answer 1

Sea
a(t) = a , donde a es una constante
Entonces la velocidad de t=0 a un t=t es el área bajo la curva de a(t)

Integrando y aplicando el teorema fundamental del cálculo
v(t) = at + c

Pero puesto que v(0) = v0 (La velocidad inicial del cuerpo) y v(t) es vf (velocidad final del cuerpo) entonces

vf = v0 + at ( Sólo para aceleración constante)

Luego la posición del cuerpo es el área bajo la curva de v(t) de t=0 a t=t

Integrando y aplicando el teorema fundamental del cálculo
x(t) = v0t + 1/2at^2 + c

Pero x(0) es x0 (La posición inicial del cuerpo) y x(t) = xf (Posición final del cuerpo)

Entonces
xf = x0 + v0t + 1/2at^2 ( sólo para aceleración constante)

La última ecuación servirá para resolver el problema.

Tomando como origen el punto de arranque de A, entonces la posición inicial de ambos es 0, se busca una posición final x dónde ambos carros estén alineados en carriles adyacentes. Puesto que el carro B se mueve con velocidad constante entonces su aceleración es 0, A parte del reposo entonces su velocidad inicial es 0


para A
x = 0 + 0 + 1/2(2)t^2= t^2
para B
x = 0 + 20t + 0 = 20t

igualando ambas x

t^2 = 20t
t(t-20)= 0

Entonces ambos carros están alineados cuando t = 0 (A parte del reposo mientras B sigue su curso) y cuando t = 20 (A alcanza a B)

Respuesta : El carro A alcanza a B en 20 segundos.A una distancia de 20(20) = 400 metros , en ese punto su velocidad es de (2)(20) = 40 metros por segundo