Question

en el lago titicaca dos barcos salen de un puerto de tiquina al mismo tiempo en rutas diferentes formando entre si un Angulo de 60° uno de ellos va a una velocidad de 10 millas/hora Mientras que el otro va a una velocidad de 12 koma 5 millas/hora hallar la distancia que separa a los dos barcos después de 2 horas de recorrido​

Answer 1

Al cabo de 2 horas de navegación los dos barcos estarán separados por una distancia de aproximadamente 22.913 millas

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el puerto desde donde salieron las dos naves con rumbos distintos, donde el lado BC (a) representa la trayectoria del Barco A y el lado CA (b) la trayectoria del Barco B, donde ambos recorridos forman un ángulo de 60°.

Se pide hallar la distancia que separa a los dos barcos después de 2 horas de navegación

Hallamos la distancia recorrida para cada uno de los barcos para un instante de tiempo de 2 horas

Por la ecuación de MRU

Donde

$\large\boxed {\bold { Distancia = Velocidad \ .\ Tiempo } }$

Para el Barco A

$\boxed {\bold { Distancia_{\ A} = 10 \frac{mi}{\not h} \ .\ 2\ \not h = 20 \ millas } }$

Para el Barco B

$\boxed {\bold { Distancia_{\ B} = 12,5 \frac{mi}{\not h} \ .\ 2\ \not h = 25 \ millas } }$

Habiendo hallado la distancia recorrida por cada uno de los barcos en 2 horas, podemos hallar la distancia que los separará después de 2 horas de navegación

La cual está dada por el lado faltante del triángulo

Hallando la distancia que separa a los dos barcos después de dos horas de navegación (lado c)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = ( 20 \ mi )^{2} + (25 \ mi)^{2} - 2 \ . \ 20 \ mi \ . \ 25 \ mi\ . \ cos(60)^o }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 400 \ mi ^{2} + 625 \ mi^{2} - 1000 \ mi^{2} \ . \ cos(60)^o }}$

$\large \textsf{El valor exacto de cos de 60 grados es } \bold {\frac{ 1 } { 2 } }$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1025 \ mi^{2} - 1000 \ mi^{2} \ . \ 0.5 }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 1025 \ mi^{2} - 500 \ mi^{2} }}$

$\boxed {\bold { c ^{2} = 525 \ mi^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 525 \ mi^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 525 \ mi^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 22,91287 \ mi }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 22,913 \ millas }}$

Al cabo de 2 horas de navegación los dos barcos estarán separados por una distancia de aproximadamente 22.913 millas

Se adjunta gráfico