Question

En el gráfico: BM . CN = 24 y MN = 8 Calcular “BC” ( “B” y “C” puntos de tangencia )

Answer 1

Propiedades de un cuadrilátero

Tener en cuenta las siguientes observaciones

• En todo cuadrilátero inscrito a una circunferencia se cumple

        Véase la imagen adjunta

                 $\mathrm{MB*NC +BN*MC = Diagonal_1*Diagonal_2}$

            A este teorema se le conoce como el Teorema de Ptolomeo

• Desde un punto exterior a dos puntos de tangencia de una circunferencia siempre la unión de dichos puntos resultan ser iguales y si se forma un triángulo con dichos puntos entonces siempre resultara ser un triángulo isósceles
• Al unir un punto exterior de una circunferencia con su centro siempre estos formaran dos triángulos Isósceles trazando la perpendicular a los puntos de tangencia

         Para el Problema

• Para este tipo de problemas lo que se recomienda es dibujar el centro de la circunferencia
• Se une el OA y se trazan los radios perpendiculares a los puntos de tangencia
• El triangulo OBA y COA son triángulos Isósceles
• Se completan los ángulos correspondientes por la teoría de ángulos en la circunferencia
• Lo que recalcare en este caso es lo siguiente, observe el cuadrilátero no convexo CMBO cuyos ángulos iniciales al completar los ángulos serán q+w es decir el ángulo BMC, se completaron los ángulos q y w por el siguiente criterio

        En el cuadrilátero no convexo se cumple que el

                    ∡C +∡ M + ∡ B = ∡ O

• Ahora el ángulo B no puede ser q ya que si prolongo BO e intercepta a MF  en un punto este no resulta ser un triángulo isósceles ya que para hacerlo, dicho punto deberá ser el punto O (centro de la circunferencia caso que no lo es) por tanto necesariamente debe ser w
• Ahora el ángulo C por consecuencia de lo anterior debe ser q por lo tanto nótese el supuesto triangulo FOA, enuncio supuestamente porque no lo es ya que un ángulo interno de un triángulo no es igual al externo como en este caso se presenta, observe el ángulo AOC y el ángulo CFA
• Con ello comprobamos OA debe ser colineal con MA
• Por tanto como O se encuentra en MN entonces todos las componentes que derivan de ello son simétricos es decir b = c también a = b de igual manera los ángulo ya que BCN es un triángulo isósceles al igual que BCM

       Lo que piden es  BC  y aplicamos el teorema de Ptolomeo

                                        $\mathrm{a*c+b*d = 8*x}\\ \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ 24+24= 8*x}\\ \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 48= 8*x}\\ \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cfrac{48}{8} =x}\\ \\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x= 6}$

       

Un cordial saludo.