Question

en el festejo del dia del maestro todos se saludaron de la mano. si hubo en total 231 apretón, ¿cuantas personas estaban en el festejo?​

Answer 1

Hay que usar la lógica.

Si una cantidad "m" de personas se dan la mano unos a otros completando un total de 231 apretones de manos, esa cantidad de apretones será el resultado (el nº de combinaciones) del modelo de la combinatoria llamado:  

COMBINACIONES DE "m" ELEMENTOS TOMADOS DE "n" EN "n".

¿Qué datos conocemos?

• Sabemos el total de apretones (231) que son la cantidad de combinaciones posibles (C)
• Sabemos la cantidad de personas (n) en un apretón de manos (2) que son los elementos que se toman en cada combinación.

¿Qué datos desconocemos?
Pues el que nos preguntan:  la cantidad de personas que estaban en el festejo y que llamamos "m".

Con esos datos se recurre a la fórmula de las combinaciones y sustituimos los datos conocidos.

$C_m^n=\dfrac{m!}{n!\times(m-n)!} \\ \\ \\ 231=\dfrac{m!}{2!\times(m-2)!}\\ \\ \\ 231=\dfrac{m\times(m-1)\times(m-2)!}{2\times1\times(m-2)!}\\ \\ \\ 231=\dfrac{m\times(m-1)}{2} \\ \\ 462=m^2-m\\ \\ m^2-m-462=0$

Ecuación cuadrática que resuelvo mediante la fórmula general para este tipo de ecuaciones y de donde salen dos soluciones:

$x_1=\dfrac{1+43}{2} =22\\ \\ \\ x_2=\dfrac{1-43}{2} =-21$

Como hablamos de personas solo es válida la primera solución ya que no hay lógica para los números negativos así que la solución es:

En el festejo había 22 personas