Question

en el desarrollo del binomio ( 5x - y/4 ) 9
a encuentra el coeficiente del monomio x2 y7
b halla el coeficiente del monomio x5 y4
c determina los coeficientes de los monomios que solo tienen x o y

Answer 1

Para poder resolver este ejercicio, primero debemos hacer el siguiente cambio de variables

u = 5x

v = -y/4

Por lo que el polinomio se convierte en

( 5x - y/4 )^9 = ( u + v )^9

Para poder obtener los coeficientes de u²*v^7, tenemos que utilizar la combinatoria de 9 y 2 (eso se conoce como binomio de Newton), esto es

9C2 = (9!)/(2! *(9-2)!) = 9!/(2!*7!)

Donde n! es el factorial de n y se define como n! = 1 *2*3*...*(n-1)*n

Entonces tenemos que 9C2 = (9*8*7*6*5*4*3*2)/(2*7*6*5*4*3*2) = 9*8/2 = 36

U tenemos entonces que el coeficiente de u² v^7 es 36, entonces

36v²v^7 = 36(5x)²(-y/4)^7 = -36*25/2^14 = -4*9*25/2^14 = -9*25/2^12

= -225/4096

Ahora, si buscamos el coeficiente de de x^5 y^4, aplicamos lo siguiente

9C5 = 9!/(5! * 4!) = 126

Y por lo tanto

126u^5 v^4 = 126(5^5)(-1/4)^4 (x^5 y^4) = (393750/256)x^5y^4 = (196.875/128) x^5 y^4

Y por último, tenemos que para los coeficiente de x o y tenemos 9uv^8 = 9(5x)(-y/4)^8 = 45/65.536 xy^8