En el desarrollo de las Inecuaciones Cuadráticas, cual es la función de los factores?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Procederemos a resolver la ecuación cuadrática x^2-6x+8>0 considerando la siguiente serie de pasos.
1Igualar el primer miembro a cero y calcular las raíces de la ecuación cuadrática asociada
x^2-6x+8=0
En este caso, el método más inmediato es el de factorización:
\begin{array}{rcl}x^2 -6x+8 & = & 0 \\\\ (x-4)(x-2) & = & 0 \end{array}
Igualamos cada factor a cero y obtenemos las raíces
\begin{array}{rcl}x-4 = 0 & \Longrightarrow & x = 4\end{array}
\begin{array}{rcl}x-2 = 0 & \Longrightarrow & x = 2\end{array}
Nota: Este primer paso, el obtener las raíces de la ecuación cuadrática asociada, también se le conoce como obtener los valores críticos de la inecuación.
2Representar estos valores en la recta real
La recta real queda dividida en tres intervalos a partir de los valores x = 4 y x = 2 : (-\infty, 2), (2, 4) y (4, \infty).
Se toma un punto de cada intervalo y se evalúa en la inecuación cuadrática para conocer el signo de cada intervalo. Por ejemplo, la triada de valores 0, 3, 5.
intervalo abierto
\begin{array}{l}x=0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 0^2-6(0)+8=8>0 \\\\ x=3 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 3^2-6(3)+8=9-18+8=-1<0 \\\\ x=5 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ 5^2-6(5)+8=25-30+8=3>0 \end{array}
Nota: En caso de que la inecuación estuviera representada por los signos menor o igual que, o bien, mayor o igual que, los intervalos de los extremos deberían ser (-\infty, 2], [2, 4] y [4, \infty); es decir, deberán incluir a los extremos de los intervalos, convirtiéndose en intervalos cerrados o semi cerrados.
3Análisis del signo de los valores y de la expresión cuadrática
La solución está compuesta por aquellos intervalos que tengan el mismo signo que la expresión cuadrática. En este caso, la expresión es positiva porque se lee en la inecuación "la expresión algebraica es mayor que cero".
intervalo abierto 2
Por tanto, la solución de la inecuación cuadrática es el conjunto de intervalos S=(-\infty,2) \cup (4, \infty).
Explicación paso a paso:
Corona