Question

En el cuadrado ABCD, de área 64 cm², M y N son puntos medios respectivos de los lados AD y AB. El cuadrado se ha dividido en cinco triángulos, un cuadrado y un paralelogramo no regular.ヾ(≧▽≦*)o. Por fa, explicación paso a paso

Answer 1

Respuesta:

B. 8

Explicación paso a paso:

Primero encontremos cuánto equivale cada lado, tengamos en cuenta que es un cuadrado, por lo que todos sus lados son iguales.

El área de un cuadrado:

$A = {l}^{2}$

Despejamos 'l'

$\sqrt{A} = l$

Sabemos que A= 64cm²

$\sqrt{64 {cm}^{2} } = l$

$8cm = l$

El triángulo BCD es la mitad del cuadrado por lo que el

$A_{BCD} = \frac{A}{2}$

$A_{BCD} = \frac{64 {cm}^{2} }{2}$

$A_{BCD} = 32 {cm}^{2}$

Si:

$A_{ABD} = A_{BCD}$

$A_{ABD} = 32 {cm}^{2}$

Ya sabemos que AD y AB miden 8cm por lo que AM, AN, MD y NB equivalen a la mitad

$AM = \frac{l}{2}$

$AM = \frac{8cm}{2}$

$AM = 4cm$

Di buscamos el área del triángulo AMN sabemos que:

b= 4cm

h= 4cm

El área de un triángulo es:

$A = \frac{b \times h}{2}$

Remplazamos:

$A_{AMN} = \frac{4cm \times 4cm}{2}$

$A_{AMN} = \frac{16 {cm}^{2} }{2}$

$A_{AMN} = 8 {cm}^{2}$

El punto O es el centro por lo que MO equivale a 4cm, buscaremos el lado del cuadrado, encontrando MP por el triángulo rectángulo MOP

RECORDEMOS que (Teorema de Pitágoras):

${hip}^{2} = {cat}^{2} + {cat}^{2}$

Entonces:

$hip = MO$

$cat = l$

Sabemos que un cuadrado tiene mismo de lado por lo que

${MO}^{2} = {l}^{2} + {l}^{2}$

$MO {}^{2} = 2 {l}^{2}$

Remplacemos y despejemos "l"

${(4cm)}^{2} = 2 {l}^{2}$

$16 {cm}^{2} = {2l}^{2}$

$\frac{16 {cm}^{2} }{2} = {l}^{2}$

$8 {cm}^{2} = {l}^{2}$

$\sqrt{8 {cm}^{2} } = l$

$2 \sqrt{2} cm= l$

Ya conocemos el lado(l) del cuadrado, por lo que buscamos el área:

El área de un cuadrado es:

$A = {l }^{2}$

Remplacemos:

$A_{MOPQ} = (2 \sqrt{2} {cm)}^{2}$

$A_{MOPQ} = 8 {cm}^{2}$

Ahora buscamos DQ para buscar el área del triángulo rectángulo DMQ

Conocemos que:

MD= 4cm

MQ= 2√2cm

Nos hace falta un cateto por lo que utilizamos el Teorema de Pitágoras:

$cat = \sqrt{ {hip}^{2} - {cat}^{2} }$

En este caso

$DQ = \sqrt{ {MD}^{2} - {MQ}^{2} }$

Remplacemos:

$DQ = \sqrt{ {(4cm)}^{2} - ( {2 \sqrt{2}) }^{2} }$

$DQ = \sqrt{16 {cm}^{2} - 8 {cm}^{2} }$

$DQ = \sqrt{8 {cm}^{2} }$

$DQ = 2 \sqrt{2} cm$

El área de un triángulo rectángulo es

$A = \frac{b \times h}{2}$

b= 2√2cm

h= 2√2cm

$A_{DMQ} = \frac{2 \sqrt{2}cm \times 2 \sqrt{2}cm }{2}$

$A_{DMQ} = \frac{8 {cm}^{2} }{2}$

$A_{DMQ} = 4 {cm}^{2}$

Ahora buscamos OR para buscar el área del triángulo rectángulo OPR

Conocemos que:

PR= 4cm

PO= 2√2cm

Nos hace falta un cateto por lo que utilizamos el Teorema de Pitágoras, es idéntico al problema anterior por lo que

$A_{OPR} = A_{DMQ}$

$A_{OPR} = 4 {cm}^{2}$

Sabemos todas las áreas EXCEPTO el paralelogramo de la mitad del cuadrado ABCD.

Sumamos todas las áreas y le restamos a la mitad del área del cuadrado ABCD(32cm²)

8cm²+ 8cm²+ 4cm²+ 4cm²= 24cm²

Como dijimos restamos con la mitad del cuadrado ABCD o como es el área de el triángulo ABD para encontrar el área del paralelogramo:

$A_{ABD} = 32 {cm}^{2}$

RESTAMOS:

$32 {cm}^{2} - 24 {cm}^{2} = 8 {cm}^{2}$

El área del paralelogramo es 8cm²