Question

En cuanto incrementa el valor de y cuando el valor de X incrementa en 0,45 unidades en la punción y=2x^2-3x cuando x=5?

Answer 1

Respuesta:

14.1 Diferenciales

Pronto se dará una razón para usar el símbolo dy/dx para denotar la derivada de y con

respecto a x. Para ello, se introducirá la noción de la diferencial de una función.

Note que dy depende de dos variables, a saber, x y ∆ x. De hecho, dy es una función de

dos variables.

EJEMPLO 1 Cálculo de una diferencial

Encuentre la diferencial de y  x3  2x2 3x  4 y evalúela cuando x  1 y ∆ x  0.04.

Solución: La diferencial es

dy  d

dx (x3  2x2 3x  4

(3x2  4x 3 x

x

Cuando x  1 y ∆ x  0.04,

dy  [3(1)2  4(1) 3](0.04)  0.08

AHORA RESUELVA EL PROBLEMA 1

Si y  x, entonces dy  d(x)  1∆ x  ∆ x. Por lo tanto, la diferencial de x es ∆ x. Se

abrevia d(x) con dx. Así, dx  ∆ x. De ahora en adelante en este texto siempre se escribirá dx en vez de ∆ x cuando se busque una diferencial. Por ejemplo,

d(x2 5)  d

dx (x2 5) dx  2x dx

En resumen, se dice que si y  f (x) define una función diferenciable de x, entonces

dy  f (x)dx

donde dx es cualquier número real. Siempre y cuando dx 0, es posible dividir ambos

lados de la ecuación entre dx:

dy

dx  f'(x)

Esto es, dy/dx puede interpretarse como el cociente de dos diferenciales, a saber, dy

dividido entre dx, o como un símbolo para la derivada de f en x. Es por esto que se introdujo el símbolo dy/dx para denotar la derivada.

EJEMPLO 2 Determinación de una diferencial en términos de dx

a. Si f(x)  x, entonces

d( x)  d

dx ( x) dx  1

2

x1/2

dx  1

2 x

dx

b. Si u  (x2 3)5

, entonces du  5(x2 3)4

(2x)dx  10x(x2 3)4

dx

Explicación paso a paso: