Question

Emplee la expansión de la serie de Taylor de cero hasta
tercer orden para predecir f(2) si
f(x) = 25x3 – 6x2 + 7x – 88
usando como punto base x = 1. Calcule el error relativo porcentual
verdadero et para cada aproximación.

Answer 1

Obtenemos el mismo polinomio que el original: el error porcentual es cero y evaluada en el punto f(2) es igual a 102

El teorema de taylor es un teorema que permite encontrar un aproximación polinómica a una función dicha aproximación esta dada por:

$f(x)= \sum \frac{f^{k} (x)(x-a)}{k!} k = 0,...,n$

a: es el punto donde se centra el polinomio

Tenemos que:

y = 25x³ - 6x² + 7x -88

Calculamos las derivadas:

y'(x) = 75x² - 12x + 7

y''(x) = 150x - 12

y'''(x) = 150

Evaluamos en las derivadas para x = 1

y(x) = 25*1³ - 6*1² + 7*1 - 88 = -62

y'(x) = 75*1² - 12*1 + 7 = 70

y''(x) = 150*1 - 12 = 138

y'''(x) = 150

Por lo tanto la solución en serie sera:

$f(x)=\frac{-62*(x-1)^{0} }{0!} +\frac{70*(x-1)^{1} }{1!}+\frac{138*(x-1)^{2}}{2!}+\frac{150*(x-1)^{3}}{3!}+...$

Eliminamos el error de orden 4:

$f(x)= -62 + 70x - 70 + 69*(x^{2}-2x + 1) + 25*(x^{3} -3x^{2} + 3x - 1)$

$f(x)= -62 + 70x - 70 + 69x^{2}-138x + 69+ 25x^{3} - 75x^{2} + 75x - 25$

$f(x)=25x^{3} + (69 - 75)x^{2} + (70 - 138 + 75)x + (-62 - 70 + 69- 25)$

$f(x)=25x^{3} -6x^{2} + 7x - 39$

$f(x)=25x^{3} -6x^{2} + 7x - 88$

La solución en serie es entonces:

$f(x)=25x^{3} -6x^{2} + 7x - 88$

Que es exactamente igual al polinomio original: por lo tanto el error relativo y absoluto es 0%

f(2) = 25*2³ - 6*4 + 7*2 - 88

=  25*8 - 24 + 14 - 88

= 200 - 24 + 14 - 88

= 102

Answer 2

1. La expansión en serie de Taylor de la función f(x) = 25*x³ - 6*x² + 7*x - 88, hasta el término de tercer orden, usando como punto base x = 1, es la siguiente:

$f(x) = -62+63*(x-1)+\frac{1}{2}*138 *(x-1)^2+\frac{1}{6}*150 *(x-1)^3$

$f(x) = -62+63*(x-1)+69 *(x-1)^2+25*(x-1)^3$

Expansión en Serie de Taylor:

La expansión en serie de Taylor de una función, hasta el término de tercer orden es la siguiente:

$f(x) = f(x_0)+\frac{df(x)}{dx}|_{x_0}*(x-x_0)+\frac{1}{2!} \frac{d^2f(x)}{x^2}|_{x_0} *(x-x_0)^2+\frac{1}{3!} \frac{d^3f(x)}{x^3}|_{x_0} *(x-x_0)^3$

Derivadas:

$\frac{df(x)}{dx}=75*x^2-12*x+7$

$\frac{d^2f(x)}{dx^2}=150*x-12$

$\frac{d^3f(x)}{dx^3}=150$

Evaluando:

f(x₀)=25*1³ - 6*1² + 7*1 - 88 = 25 - 6 + 7 - 88 = - 62

f'(x₀) = 75*1² - 12*1 = 75 - 12 = 63

f''(x₀) = 150*1 - 12 = 138

f'''(x₀) = 150

$f(2) = -62+63*(2-1)+\frac{1}{2}*138 *(2-1)^2+\frac{1}{6}*150 *(2-1)^3$

$f(2) = -62+63+\frac{138}{2}+\frac{150}{6}$

$f(2) = -62+63+69+25$

$f(2) = 95$

2. El error relativo considerando hasta el tercer orden es 0,0687

Calculando el Error Relativo:

Valor verdadero de la función:

f(2) = 25*2³ - 6*2² + 7*2 - 88

f(2) = 25*8 - 6*4 + 7*2 - 88

f(2) = 200 - 24 + 14 - 88

f(2) = 102

Valor calculado con la Serie de Taylor:

f(x₀)=25*1³ - 6*1² + 7*1 - 88 = 25 - 6 + 7 - 88 = - 62

f'(x₀) = 75*1² - 12*1 = 75 - 12 = 63

f''(x₀) = 150*1 - 12 = 138

f'''(x₀) = 150

$f(2) = -62+63*(2-1)+\frac{1}{2}*138 *(2-1)^2+\frac{1}{6}*150 *(2-1)^3$

$f(2) = -62+63+\frac{138}{2}+\frac{150}{6}$

$f(2) = -62+63+69+25$

$f(2) = 95$

Error relativo:

$E=|\frac{Valor \, verdadero \, - \, Valor \, calculado}{Valor \, verdadero}|$

$E=|\frac{102 \, - 95}{102}|$

$E=|\frac{7}{102}|$

$E=0,0687$

3. El error relativo considerando hasta el segundo orden es 0,1765

Calculando el Error Relativo:

Valor verdadero de la función:

f(2) = 25*2³ - 6*2² + 7*2 - 88

f(2) = 25*8 - 6*4 + 7*2 - 88

f(2) = 200 - 24 + 14 - 88

f(2) = 102

Valor calculado con la Serie de Taylor:

f(x₀)=25*1³ - 6*1² + 7*1 - 88 = 25 - 6 + 7 - 88 = - 62

f'(x₀) = 75*1² - 12*1 = 75 - 12 = 63

f''(x₀) = 150*1 - 12 = 138

$f(2) = -62+63*(2-1)+\frac{1}{2}*138 *(2-1)^2$

$f(2) = -62+63+\frac{138}{2}$

$f(2) = -62+63+69$

$f(2) = 120$

Error relativo:

$E=|\frac{Valor \, verdadero \, - \, Valor \, calculado}{Valor \, verdadero}|$

$E=|\frac{102 \, - 95}{102}|$

$E=|\frac{-18}{102}|$

$E=0,1765$

4. El error relativo considerando hasta el primer orden es 0,9902

Calculando el Error Relativo:

Valor verdadero de la función:

f(2) = 25*2³ - 6*2² + 7*2 - 88

f(2) = 25*8 - 6*4 + 7*2 - 88

f(2) = 200 - 24 + 14 - 88

f(2) = 102

Valor calculado con la Serie de Taylor:

f(x₀)=25*1³ - 6*1² + 7*1 - 88 = 25 - 6 + 7 - 88 = - 62

f'(x₀) = 75*1² - 12*1 = 75 - 12 = 63

$f(2) = -62+63*(2-1)$

$f(2) = -62+63$

$f(2) = -62+63$

$f(2) = 1$

Error relativo:

$E=|\frac{Valor \, verdadero \, - \, Valor \, calculado}{Valor \, verdadero}|$

$E=|\frac{102 \, - 1}{120}|$

$E=|\frac{101}{102}|$

$E=0,9902$

5. El error relativo porcentual considerando hasta el tercer orden es 6,87%

Calculando el Error Relativo Porcentual:

Valor verdadero de la función:

f(2) = 102

Valor calculado con la Serie de Taylor:

$f(2) = 95$

Error relativo porcentual:

$E=|\frac{Valor \, verdadero \, - \, Valor \, calculado}{Valor \, verdadero}*100|$

$E=|\frac{102 \, - 95}{102}*100|$

$E=|\frac{7}{102}*100|$

$E=6,87 \%$

6. El error relativo porcentual considerando hasta el segundo orden es 17,65%

Calculando el Error Relativo:

Valor verdadero de la función:

f(2) = 102

Valor calculado con la Serie de Taylor:

$f(2) = 120$

Error relativo:

$E=|\frac{Valor \, verdadero \, - \, Valor \, calculado}{Valor \, verdadero}*100|$

$E=|\frac{102 \, - 95}{102}*100|$

$E=|\frac{-18}{102}*100|$

$E=17,65 \%$

7. El error relativo porcentual considerando hasta el primer orden es 99,02%

Calculando el Error Relativo:

Valor verdadero de la función:

f(2) = 102

Valor calculado con la Serie de Taylor:

$f(2) = 1$

Error relativo:

$E=|\frac{Valor \, verdadero \, - \, Valor \, calculado}{Valor \, verdadero}*100|$

$E=|\frac{102 \, - 1}{120}*100|$

$E=|\frac{101}{102}*100|$

$E=99,02 \%$

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