Question

Emplee el teorema de Moivre para determinar las potencias indicadas

Answer 1

 Las potencias aplicando el teorema de De Moivre dan como resultado :

22) ( cos π/4 + i senπ/4 )⁴ =( cos π+ i senπ) = 1

 23) [ 2*( cos 45º + i sen45º )]⁵ = 32( cos 90º + i sen90º ) = 32i

 24) ( 1/2 -√3/2 i )⁻³ = 1

 25) (√2/2 +√2/2i)⁻⁸ = 1

 26) ( -3√3 +3i )³⁰ = - ( 2√21/3)³⁰

La fórmula del teorema  De Moivre que se aplica para calcular la potencia  de cualquier número complejo en forma trigonométrica o polar  z = r(cosθ + isenθ) para cualquier n∈ Z  es la siguiente  :

             zⁿ  = rⁿ*(cos(nθ) + i*sen(nθ))      

22)  ( cos π/4 + i senπ/4 )⁴ =  1⁴* ( cos ( 4*π/4) +i *sen ( 4*π/4))

                                              = ( cos π+ i senπ)

23) [ 2*( cos 45º + i sen45º )]⁵ = 2⁵* ( cos (2*45º ) + i sen( 2*45º ) )

                                                   = 32( cos 90º + i sen90º )

24 ) ( 1/2 -√3/2 i )⁻³ =  ( cos 120º + i sen120º )⁻³ = 1⁻³* ( cos ( -3*120) + i sen(-3*120))  = 1* ( cos( -360º ) + i *sen ( -360º)) =  1    

       

      r= √(1/2)²+ ( -√3/2 )² = 1     tangα = -√3/2 /1/2 ⇒  α = -60º  

                                                        180º -60º = 120º

25 )  (√2/2 +√2/2i)⁻⁸ = ( Cos 45º + isen45º)⁻⁸ = 1⁻⁸* ( cos ( -8*45º ) + i sen( -8*45º)) = ( cos ( -360º ) + i sen ( -360º ) ) = 1

     r= √(√2/2)²+ ( √2/2 )² = 1     tangα = √2/2 /√2/2 ⇒  α = 45º  

                                                       

  26) ( -3√3 +3i )³⁰ =(  2√21/3 (cos 150º + isen150º ))³⁰

                                = ( 2√21/3)³⁰* ( cos 30*150º + i sen ( 30*150º ))

                                =  ( 2√21/3)³⁰* ( cos 4500º + i sen ( 4500º ))

                                 = - ( 2√21/3 )³⁰

    r= √(-√3/3)²+ (3 )² = 2√21/3     tangα =3 /-3√3 ⇒  α =  -30º

                                                        180º -30º = 150º