Question

Empleando la notación de Euler resuelva el producto de estos dos números complejos: z_1=3(cos⁡〖2π/3〗 + isen 2π/3 ); z_2=2 ( cos⁡〖π/6〗 + isen π/6 ) Elija el resultado correcto. Proporcione los procedimientos realizados.

Answer 1

El resultado de multiplicar z_1 con z_2 es 6(cos(5\pi/6) +isin(5\pi/6))

Para poder realizar este problema, debemos tener en cuenta la notación de Euler

$z = r(cos(\theta)+isin(\theta)) = re^{i\theta}$

y la siguiente propiedad de los exponentes:

$e^xe^y = e^{x+y}$

Al hacer esto vemos lo siguiente

$z_1 = 3(cos(2\pi /3) + isin(2\pi /3)) = 3e^{2\pi i /3}\\\\z_2 = 2(cos( \pi / 6 ) + isin( \pi / 6 ) ) = 2e^{\pi i / 6}$

Por lo que si los multiplicamos, quedaría

$z_1 z_2 = (3e^{2\pi i / 3})(2e^{\pi i / 6}) = 6(e^{2\pi i / 3}e^{\pi i / 6})=6e^{ ( 2/3 + 1/6 )\pi i } = 6e^{5\pi i / 6}$

Por lo que en la forma original, basada en senos y cosenos tenemos

$z_1z_2 = 6e^{5\pi i / 6} = 6(cos(5\pi/6) +isin(5\pi/6))$