Question

Emiliano recientemente compro un departamento de forma rectangular, este mide de largo 8 metros mas que la medida de su ancho ¿Cuáles son las medidas de las dimensiones si su área en 105m cuadrados?

Answer 1

Las dimensiones del departamento rectangular son de 7 metros de ancho y de 15 metros de largo

Solución

Se desea hallar las dimensiones de un departamento de forma rectangular

Del cual conocemos su área y que su largo mide 8 metros más que su ancho

Hallaremos los valores de los lados a partir de su área

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

Donde

Llamaremos variable x a su ancho,

$\large\textsf{Ancho = x metros }$

y sabiendo que el largo es 8 metros mayor que el ancho será (x m + 8 m )

$\large\textsf{Largo = (x metros + 8 metros) }$

Conocemos el valor del área del rectángulo que es de 105 m²

$\large\textsf{\'Area = 105 }\bold {m^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

En donde empleamos la fórmula para hallar el área de un rectángulo para establecer una ecuación cuadrática para hallar la variable x que es el ancho del apartamento en metros lineales

$\boxed {\bold { 105 \ m^{2} = (x \ m +8 \ m ) \ . \ x \ m }}$

$\boxed {\bold { (x \ m +8 \ m ) \ . \ x \ m = 105 \ m^{2} }}$

Como el área de un rectángulo resulta de multiplicar el largo por el ancho, la incógnita x metros de ancho se elevará al cuadrado

$\boxed {\bold { x \ m \ . \ x \ m \ +\ 8x \ m = 105 \ m^{2} }}$

$\large\textsf{Obteniendo una ecuaci\'on de segundo grado }$

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 8x - 105 = 0 }}$

La cual se puede resolver para x  (el ancho en metros)

a) Por factorización

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 8x - 105 = 0 }}$

$\large\textsf{Considerando la forma: } \bold {ax^{2} + bx + c}$

$\large\textsf{Hallamos un par de enteros cuyo producto sea c y su suma sea b }$

$\large\textsf{Donde el producto es -105 y la suma es 8 }$

Los números enteros son:

$\boxed{ \bold{ -7 , \ 15 }}$

$\large\textsf{Escribimos en forma factorizada empleando esos n\'umeros enteros }$

$\boxed{ \bold{(x -7 ) (x+15) = 0 }}$

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a  0 , la expresión completa será igual a  0

Luego

$\boxed{ \bold{x -7 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = 7 \ m }}$

$\boxed{ \bold{x + 15 = 0 }}$

$\boxed{ \bold{x = -15 \ m }}$

La solución completa son los valores que hacen  a (x-7)(x+15) = 0 verdadero

$\large\boxed{ \bold{x = 7 \ m , - 15 \ m }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 7 \ m }}$

b) Empleando la fórmula cuadrática

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 1, b =8 y c = -105 }$

$\large\textsf{Para resolver para x que es el ancho del departamento }$    

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -8 \pm \sqrt{ 8^2 - 4\ . \ (1 \ . \ -105) } }{2 \ . \ 1} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -8 \pm \sqrt{64- 4\ . \ -105 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -8 \pm \sqrt{64+ 420 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -8 \pm \sqrt{484 } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -8 \pm \sqrt{22^{2} } }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ -8 \pm22 }{2 } }}$

$\boxed{ \bold{x = -4 \pm 11 }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 7 \ m , - 15 \ m }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 7 \ m }}$

Luego el ancho del departamento es de 7 metros

Nota: Se ha hallado el valor de la variable x por 2 métodos, en donde no es necesario que se resuelva el problema desarrollando ambos.

Determinamos el largo del departamento

Luego como sabemos que el largo del departamento es 8 metros mayor que el ancho

Reemplazamos el valor hallado de x metros de ancho

$\large\textsf{Ancho = x metros }$

$\large\textsf{Ancho = 7 metros }$

$\large\textsf{Largo = (x metros + 8 metros) }$

$\large\textsf{Largo = (7 metros + 8 metros) = 15 metros }$

El largo del departamento es de 15 metros

Sabiendo que el área del departamento rectangular es de 150 metros cuadrados

Luego el ancho del departamento es de 7 metros y el largo de 15 metros

Verificación

$\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

$\boxed{\bold { 105 \ m^{2} =15 \ m \ . \ 7 \ m }}$

$\boxed{\bold { 105 \ m^{2} =105 \ m^{2} }}$

Se cumple la igualdad