Question

elaboré 5 ejercicio de número complejo
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Answer 1

Respuesta:

1\displaystyle \frac{(3_{20^\circ})^3}{2_{60^\circ}}

 

Elevamos primero el numerador a la tercera potencia

\displaystyle \frac{(3_{20^\circ})^3}{2_{60^\circ}}=\frac{3^3_{3\cdot 20^\circ}}{2_{60^\circ}}=\frac{27_{60^\circ}}{2_{60^\circ}}

Calculamos el cociente

\displaystyle \frac{27_{60^\circ}}{2_{60^\circ}}=\left(\frac{27}{2}\right)_{60^\circ-60^\circ}=\left(\frac{27}{2}\right)_{0^\circ}

 

2\displaystyle (1+i)^{10}  

 

Convertimos el número 1+i en forma polar

z=1+i

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

\text{Argumento} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\arctan \frac{1}{1}=45^\circ

z=(\sqrt{2})_{45^\circ}

Finalmente calculamos la potencia de z

(1+i)^{10}=(\sqrt{2}_{45^\circ})^{10}=(\sqrt{2})^{10}_{10\cdot 45^\circ}=32_{450^\circ}

Si ajustamos el argumento a un ángulo entre 0 y 360^\circ, obtenemos

32_{450^\circ}=32_{90^\circ}

 

3\displaystyle (1+\sqrt{3}i)^6

 

Convertimos el número 1+\sqrt{3}i en forma polar

z=1+\sqrt{3}i

\text{M\'odulo} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm}|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2

\displaystyle \text{Argumento} \hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\arctan \frac{\sqrt{3}}{1}=60^\circ

z=2_{60^\circ}

Finalmente calculamos la potencia de z

(1+\sqrt{3}i)^6 =(2_{60^\circ})^{6}=(2^6)_{6\cdot 60^\circ}=64_{360^\circ}=64_{0^\circ}

 

4\displaystyle \sqrt[3]{\frac{-1+i}{\sqrt{3}+i}}

 

Convertimos el númerador que aparece dentro de la raíz a forma polar

\displaystyle z_1=1-i

\displaystyle |z_1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

\displaystyle a_1=\arctan \frac{1}{-1}=135^\circ

\displaystyle z_1=(\sqrt{2})_{135^\circ}

Ahora convertimos el denominador a forma polar

\displaystyle z_2=\sqrt{3}+i

\displaystyle |z_2|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2

\displaystyle a_2=\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}=30^\circ

\displaystyle z_2=2_{30^\circ}

Calculamos el cociente

\displaystyle \sqrt[3]{\frac{(\sqrt{2})_{135^\circ}}{2_{30^\circ}}}=\sqrt[3]{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)_{105^\circ}}

Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces

\displaystyle \text{M\'odulo}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} |z|=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt[3]{\sqrt{\frac{2}{4}}}=\sqrt[6]{\frac{1}{2}}

\displaystyle \text{Argumento}\hspace{.5cm}\rightarrow \hspace{.5cm} \alpha=\frac{105^\circ +360^\circ k}{3}=\left\{\begin{matrix} k=0 & a_1=35^\circ\\ k=1 & a_2=155^\circ \\ k=2 & a_3=275^\circ \end{matrix}\right.

Las raíces terceras constan entonces de los números

\displaystyle \begin{matrix} x_1=\left(\sqrt[6]{\frac{1}{2}}\right)_{35^\circ}\\ x_2=\left(\sqrt[6]{\frac{1}{2}}\right)_{155^\circ}\\ x_3=\left(\sqrt[6]{\frac{1}{2}}\right)_{275^\circ} \end{matrix}

Explicación paso a paso: