Question

El volumen de un tetraedro regular es 16/3√2, encontrar el área de la región triangular que se forma al unir los puntos medios de tres aristas.

Answer 1

El área de el triángulo pedido es √3

Para poder determinar el área del triángulo, debemos saber que este es un cuarto del área de una de las bases, si se forma este triángulo, se puede ver que una de las bases tiene ahora cuatro triángulos equiláteros iguales. Además, el área de un triángulo equilátero es l²√3/4 Donde l es la longitud de su lado Por lo que simplemente debemos hallar esta medida.

El volumen de un tetraedro regular es  l³√2 / 12 donde l es el lado del tetraedro y a su vez la longitud de cualquiera de sus caras, entonces tenemos

l³ √2 / 12 = 16/3 √2

l³/12 = 16 / 3

l³ = 12*16/3 = 4*16 = 64

l³ = 4³

l = 4

Es decir, la medida de la longitud del lado del tetraedro es 4 u

Ahora, el área de una de sus caras es (4)²/4 √3 = 4√3

Y por lo tanto, un cuarto de esta es igual a √3