Question

el volumen comprendido entre dos esferas concentricas es igual a 392/3 π cm 3 ¿cual es el volumen de la esfera pequeña si se sabe que su radio es 2cm menor que el radio de la grande?​

Answer 1

Respuesta:

$V_{menor}=36\pi$

Explicación:

se trata de una esfera dentro de otra esfera, por tanto, el volumen final es el resultante de el volumen de la esfera mayor menos el volumen de la esfera menor:

$V_T=V_{mayor}-V_{menor}$

el volumen de la esfera es:

$V=\frac{4\pi R^3 }{3}$

asi que:

$V_{mayor}=\frac{4\pi R^3 }{3}$

y

$V_{menor}=\frac{4\pi (R-2)^3 }{3}$

reemplazando los valores se tiene

$V_T=V_{mayor}-V_{menor}$

$V_T=\frac{4\pi R^3 }{3}-\frac{4\pi (R-2)^3 }{3}$

sacando factor comun se tiene:

$V_T=\frac{4\pi }{3}(R^3-(R-2)^3)$

como $V_T=\frac{392 \pi }{3}$

reemplazamos en la formula:

$V_T=\frac{4\pi }{3}(R^3-(R-2)^3)$

$\frac{392 \pi }{3}=\frac{4\pi }{3}(R^3-(R-2)^3)$

al reducir se tiene:

$98=(R^3-(R-2)^3)$

resolviendo esto se tiene:

$(R^3-(R-2)^3)=98$

$R^3-(R^3-3R^2*2+3R*2^2-2^3)=98$

$R^3-R^3+6R^2-12R+8=98$

$6R^2-12R+8=98$

$6R^2-12R+8-98=0$

$6R^2-12R-90=0$

$6(R^2-2R-15)=0$

Ahora vamos a buscar los valores que cumplen la condición:

$6(R-.......)(R+......)=0$

buscamos 2 números que multiplicados den 15 y sumados den 2

los números son 5 y 3

reemplazando nos da:

$6(R- 5 )(R+3)=0$

por tanto los valores que cumplen la condición son:

$R_1-5=0\\R_1=5$

y

$R_2+3=0\\R_2=-3$

el radio de las esferas no puede ser negativo entonces descartamos el valor negativo de -3.

El radio de la esfera es

R=5

el volumen de la esfera pequeña es:

$V_{menor}=\frac{4\pi (R-2)^3 }{3}$

reemplazando el valor de R se tiene:

$V_{menor}=\frac{4\pi (R-2)^3 }{3}$

$V_{menor}=\frac{4\pi (5-2)^3 }{3}$

$V_{menor}=\frac{4\pi (3)^3 }{3}$

$V_{menor}=4\pi (3)^2$

$V_{menor}=36\pi$