Question

El vértice de una parábola está en la recta 3x-2y-19=0 su foco en la recta x+4y=0 ysu directriz es x=2. Hallar su ecuación

Answer 1

Veamos. La recta directriz es vertical, x = 2

La distancia del vértice a la directriz es igual que del foco al vértice.

Luego, puesto en coordenadas nos queda: V(h + 2, k); F(2 h + 2, k)

1) El vértice pertenece a la recta 3 x - 2 y - 19 = 0:

Queda: 3 (h + 2) - 2 k - 19 = 0

2) El foco pertenece a la recta x +  4 y = 0

Queda: (2 h + 2) + 4 k = 0

Entre 1) y 2) hay un sistema 2 x 2; sus raíces son h = 3, k = - 2

Luego V(5, - 2); F(8, - 2) son el vértice y el foco

Siendo la recta directriz vertical, la forma de la ecuación es:

(y + 2)² = 2 p (x - 5), siendo p/2 la distancia de vértice a la directriz

p/2 = h - 2 = 3 - 2 = 1; de modo que 2 p = 4

Finalmente: (y + 2)² = 4 (x - 5) es la ecuación buscada.

Adjunto gráfico con las conclusiones.

Saludos Herminio