Question

El valor positivo de k para lo cual, la suma de las raíces de la ecuación: ( k^2-5 ) x^(2 )+2k(k-2x)-2=0; es igual a 1 ; se encuentra en el intervalo: a) [6, 10] b) [15, 20] c)[ 0,6 ] d) [ -2, 0)

Answer 1

Respuesta:    $\left[0,6\right]$

Pasos:

$\left(\:k^2-5\:\right)\:x^{2\:}+2k\left(k-2x\right)-2=0$

Nos pide hallar el valor positivo de K ,pero ente un intervalo :

Para ello debemos recordar la fomra de una ecuación de segundo grado

$ax^2+bx+c=0$

Donde tiene 2 raices   $x_1\:\:,\:\:x_2$

Pero si recordamos que la fomrrmula de la suma de raices es $x_1+x_2=\:\frac{-b}{a}$

Entonces en la ecuación seria de cada coeficiente:

$a=k^2-5$

$b=-4k$

Y como sabemos que la suma de raices es 1:

$1=\frac{-\left(-4k\right)}{\left(k^2-5\right)}\:\:\:\:\:\:$

$\mathrm{Simplificar\:}\frac{-\left(-4k\right)}{k^2-5}:\quad$

$\mathrm{Aplicar\:la\:regla}\:-\left(-a\right)=a$

$=\frac{4k}{k^2-5}$

$1=\frac{4k}{k^2-5}$

$\mathrm{Simplificar}$

$k^2-5=4k$

$\mathrm{Resolver\:mediante\:factorizaci\'on}$

$\mathrm{Factorizar\:}k^2-4k-5:\quad$

$=\left(k^2+k\right)+\left(-5k-5\right)$

$=\left(k+1\right)\left(k-5\right)$

$\mathrm{Utilizar\:el\:principio\:de\:la\:multiplicaci\'on\:por\:cero:}$

$k+1=0:\quad k=-1$

$\:k-5=0:\quad k=5$

$\mathrm{Las\:soluciones\:a\:la\:ecuaci\'on\:de\:segundo\:grado\:son:\:}$

$k=-1,\:k=5$

Pero si nos dicen que debe ser positivo entonces no puede ser -1

Por ende k = 5 y el unico intervalo que se encuentra k es [ 0,6 ]

[0,6]    ✔️Respuesta