Question

El valor del área entre las curvas f(x) = x2 – 2x y g(x) = x + 4, es:​

Answer 1

Respuesta:

125/6

Explicación paso a paso:

Las funciones que tiene son:

$f(x)=x^{2}-2x\\g(x)=x+4$

Analizando el gráfico de estas funciones, (checar la imagen que te anexo), podemos ver que en el intervalo de intersecciones (es decir, el momento donde se cruzan y forman el área que deseamos calcular), g(x)≥f(x).

Recordemos, que para hallar área entre curvas, ocupamos ver que función es mayor (que esté por "encima" de la otra). Ahora, para los límites, podemos calcularlos analíticamente. Como ambas funciones de cortan (que hay intersección), podemos igualar sus expresiones y despejar a x:

$x^{2}-2x=x+4\\x^{2}-2x-x-4=0\\x^{2}-3x-4=0\\(x-4)(x+1)=0\\x_1=-1\\x_2=4$

Así obtenemos los valores de x. Como podemos notar, son 2 valores, y es de esperarse, pues las funciones se cortan en 2 puntos. Y precisamente estos valores, corresponden a los límites de la integral.

Entonces, el área entre f y g estaría descrita por la siguiente integral:

$A=\int\limits^4_{-1} {(g(x)-f(x))} \, dx$

Observa que para hallar el área entre curvas, restamos a la curva mayor la menor, es decir g-f. Ahora sustituimos los valores de las funciones calculamos:

$A=\int\limits^4_{-1} {(x+4-(x^{2}-2x))} \, dx\\\\\\A=\int\limits^4_{-1} {(x+4-x^{2}+2x)} \, dx$

$A=\int\limits^4_{-1} {(-x^{2}+3x+4)} \, dx$

$A=[- \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 4x ]^{4}_{-1}$

$A=[-\frac{1}{3}(4)^{3} +\frac{3}{2}(4)^{2} +4(4)]-[-\frac{1}{3}(-1)^{3} +\frac{3}{2}(-1)^{2} +4(-1)]\\\\\\A=[-\frac{1}{3}(64) +\frac{3}{2}(16) +16]-[-\frac{1}{3}(-1)+\frac{3}{2}(1) -4]\\\\\\A=[-\frac{64}{3}+24+16]-[\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-4]$

$A=[\frac{56}{3}]-[-\frac{13}{6}]\\\\\\ A=\frac{125}{6}$

El área sería entonces, de 125/6. Espero haberte ayudado, Mucho éxito!!!