Question

El valor de la función seno en el tercer cuadrante al hallar la solución de tan⁡x+〖sec〗^2 x=3, es

Answer 1

primero debes resolver la ecuacion trigonometrica, para ello debes conocer bien las identidades. Usando sec^2(x)=1+tan^2(x) obtenemos una funcion cuadratica:

tan^2(x)+tan(x)-2=0 
si usamos un cambio de variable (para que se lea mejor) a=tan (x)
nos queda:
a^2+a-2=0  esto es equivalente a:
(a-1)(a+2)=0 entonces esto se cumple ssi a= 1 o a=-2
y ademas sabemos que a=tg (x)
Por lo tanto nos queda:
tg(x)=-2 y tg(x)=1
La primera solucion no tiene sentido ya que sabemos que los valores que toma seno varia entre [-1,1] (recuerda que tan(x)=sen(x)/cos(x))
En conclusion la segunda solucion es la que nos sirve.
ahora debemos preguntarnos: ¿Para que angulo la tangente se hace 1, o bien, que el sen y el cos sean iguales?
la respuesta es que para x= 45º  o escrito de una forma más general, sera  x= nπ-π$\frac{3}{4}$, donde n es un entero

Para ver que valor toma el sen en el tercer cuadrante puede hacer lo siguiente:
para n=1, x=45 (esta ubicado en el primer cuadrante), si le sumamos 180º encontraremos una solucion que esta en el tercer cuadrante, y por trigonometria sabes que sen(180º+x)=-sen(x) y cos(180º+x)=-cos(x).
 Finalmente, tu conoces cuanto vale sen(45), y con lo anterior puedes saber que valor toma el sen en el tercer cuadrante.

Espero que hallas entendido
Saludos c: