Question

el último término de una progresión aritmética de 10 términos vale 16. La suma de todos sus numeros vale 70. calcula el primer término y la diferencia.

Answer 1

Tenemos una progresión aritmética. El término enésimo de una progresión aritmética viene dado por la fórmula: 
an = a1 + (n - 1) · d 
donde a1 es el primer término de la sucesión y d es la diferencia, que son nuestras dos incógnitas. El enunciado nos dice que en la progresión de 10 términos el ultimo termino vale 16, por lo tanto para n=10 se tiene que an=16, es decir: 
16 = a1 + (10 - 1) · d ===> 
16 = a1 + 9d (1) 
y ya tenemos una ecuación, aunque para hallar las dos incógnitas necesitamos como mínimo dos ecuaciones. 

Otra formula que tenemos es la de las sumas parciales. dado un número n: 
Sn = (a1 + an)n/2 
Sn es la suma de términos desde a1 hasta an de la suceción. Por dato del enunciado la suma desde el primer termino hasta el término an con n=10 es 70, por lo tanto: 
70 = (a1 + 16)10/2 ==> 
70 = (a1 + 16)·5 ==> 
14 = a1 + 16 ==> 
a1 = -2 

ahora de la ecuación (1): 
16 = a1 + 9d ===> 
16 = -2 + 9d ===> 
18 = 9d ===> 
d = 2 

Así que el primer término es -2 y la diferencia es 2. 
Espero haberte ayudado, saludos