Question

El triángulo ABC es rectángulo en A. M es el punto medio de su hipotenusa. E está sobre el cateto AC y ME es perpendicular a BC. El cateto AB mide 12cm, y la hipotenusa BC mide 20cm.

IMAGEN:

El área, en cm2, de la región sombreada, es:

Seleccione una:
a. 117/2
b. 121/2
c. 119/2
d. 115/2

Answer 1

El área sombreada recortada del triángulo rectángulo ABC es de a) 117/2 centímetros cuadrados.

¿Cómo hallar la altura del triángulo EMC?

Para hallar el área sombreada podemos restar el área del triángulo ABC y la del triángulo blanco EMC. Para ello tenemos que hallar la medida del cateto AC:

$AC=\sqrt{(20cm)^2-(12cm)^2}=16cm$

Aplicando el teorema del cateto podemos hallar la longitud de la proyección NC:

$h=NC\\i=BC\\h.i=AC^2\\\\NC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{(16cm)^2}{20cm}=\frac{64}{5}cm$

Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ANC podemos hallar la altura AN:

$AN=\sqrt{(16cm)^2-(\frac{64}{5}cm)^2}=\frac{48}{5}cm$

Entre los triángulos CNA y EMC podemos hallar relaciones de semejanza por aplicación del teorema de Tales:

$A=\frac{AB\times CA}{2}-\frac{EM\times CM}{2}=\frac{12cm.16cm}{2}-\frac{10cm.\frac{15}{2}cm}{2}\\\\A=\frac{117}{2}cm^2$

¿Cómo hallar el área sombreada?

El área sombreada es la diferencia entre las áreas de los triángulos ABC y EMC:

$\frac{AN}{EM}=\frac{CN}{CM}\\\\EM=AN.\frac{CM}{CN}=\frac{48}{5}cm.\frac{10cm}{\frac{64}{5}cm}\\\\EM=\frac{15}{2}cm$

Aprende más sobre triángulos rectángulos en https://brainly.lat/tarea/12647066