Question

El tercer término de una PG es 6 y el quinto es 81 veces mayor que el primero. Escribe los cinco primeros términos
de la PG, suponiendo que son positivos.

Answer 1

Respuesta:

$\frac{2}{3},2,6,18,54$

Explicación paso a paso:

Dice el ejercicio que el 5to término ($a_{5}$) es 81 veces el primero ($a_{1}$), es decir: $a_{5}=81a_{1}$

Trabajemos con la fórmula para el término n-ésimo de una Progresión Geométrica (PG)

$a_{n}=a_{1}*r^{n-1}$

Averigüemos cuál es la razon ($r$). Nos dicen que el 5to término ($a_{5}$) es $81a_{1}$, entonces trabajemos con $a_{n}$ como $a_{5}$ , por lo que n=5. Reemplazamos en la fórmula:

$81a_{1}=a_{1}*r^{5-1}$ ;   $81a_{1}=a_{1}*r^{4}$;   $r^{4}=\frac{81a_{1}}{a_{1}}$ ;   $r^{4}=81$ ;   $r=\sqrt[4]{81}$ ;  $r=3$

Ahora ya conocemos la razón = 3

Averigüemos ahora cuál es el primer término: Sabemos que el 3er término de la PG es 6. Entonces, para aplicar nuevamente la fórmula, tendremos en cuenta que: $a_{3}=a_{n}$ , por lo que n=3 y $a_{n}=6$ . Reemplazamos en la fórmula:

$6=a_{1}*3^{3-1}$ ;    $6=a_{1}*3^{2}$;   $6=a_{1}*9$;   $a_{1}=\frac{6}{9}$ ;  $a_{1}=\frac{2}{3}$

Si el primer término es 2/3 y la razón es 3, para encontrar los siguientes términos basta que multipliquemos cada anterior por dicha razón 3 y así tendremos el siguiente término.

Primer término: $a_{1}=\frac{2}{3}$

Segundo término: $a_{2}=\frac{2}{3}*3=\frac{6}{3}=2$

Tercer término: $a_{3}=2*3=6$

Cuarto término: $a_{4}=6*3=18$

Quinto término: $a_{5}=18*3=54$

PRUEBA:

Dice el ejercicio que el 5to término, es 81 veces mayor que el 1ro.

$81*\frac{2}{3}=\frac{81*2}{3}=\frac{162}{3}=54$ OK