Question

El tema es productos notables, ayuda por favor? :c

Answer 1

Bueno, no es muy complicado el caso de productos notables,

$(a^{n}+b^{n})=(a^{\frac{n}{3}}+b^{\frac{n}{3}})(a^{\frac{2}{3}n}-ab+b^{\frac{2}{3}n})$

esa es una fórmula demaciado general, pero tienes que tener claro que funciona para cualquier ene (n), puede ser par, impar, obviamente se va a ver feísimo es factorización pero en posteriores cursos verás lo importante que es saber eso.

El caso más general es cuando ene (n) vale 3, veamos,

 $(a^{3}+b^{3})=(a^{\frac{3}{3}}+b^{\frac{3}{3}})(a^{\frac{2}{3}(3)}-ab+b^{\frac{2}{3}(3)}) =(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

ese caso lo debes conocer mejor...en fin, éstos funciona para (a) y (b), enteros, decimales, fraccionarios...Reales en fin....entonces, hagamos el producto notable de

$\displaystyle\frac{m^{12}+1}{3m^{6}}$

primero vamos a hacer unos acomodes, vamos a sacar aparte el un tercio así,

$\displaystyle\left(\frac{1}{3}\right)\frac{m^{12}+1}{m^{6}}$

y ahora, podemos distriguir el denomiandor para cada térmion del numerador, si rceuerdas lo que son las fracciones HOMOGÉNEAS ¿VERDAD?, son aquellas que tienen el mismo denominador entonces los numeradores solo se sumaban y ya, haber,

$\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$

entonces podemos distribuir el denominado para cada término del numerador, entonces,

$\displaystyle\frac{1}{3}\left(\frac{m^{12}}{m^{6}}+\frac{1}{m^{6}}\right)=\frac{1}{3}\left(m^{6}+\left(\frac{1}{m}\right)^{6}\right)$

nignún problema ¿verdad?, uno elevado a la sexta sigue siendo uno, bueno un super uno talvez pero es uno. y el denominador quedo elevado a la sexta.... ahora si apliquemos el producto notable, en éste caso n=6, entonces,

$\displaystyle\frac{1}{3}\left(m^{6}+\left(\frac{1}{m}\right)^{6}\right)=\frac{1}{3}\left(m^{2}+\left(\frac{1}{m}\right)^{2}\right)\left(m^{4}-(m^{2})\frac{1}{m^{2}}+\left(\frac{1}{m}\right)^{4}\right) \\ \\ \\ ...=\frac{1}{3}\left(m^{2}+\left(\frac{1}{m}\right)^{2}\right)\left(m^{4}-1+\left(\frac{1}{m}\right)^{4}\right)$

pero sabemos que,

$\displaystyle\left(m^{2}+\left(\frac{1}{m}\right)^{2}\right)=2$

entonces,

$...=\displaystyle\frac{1}{3}(2)\left(m^{4}-1+\left(\frac{1}{m}\right)^{4}\right)$

ahora si te das cuenta lo que está entre el paréntesis más grande, es un caso de factorización, llamado trinomio cuadrado perfecto, está incompleto ¿verdad?, porque sabemos que es así,

$(a^{2}\pm2ab+b^{2})=(a\pm b)^{2} \\ \\ \displaystyle m^{4}+2+\left(\frac{1}{m}\right)^{4}=\left(m^{2}+\frac{1}{m^{2}}\right)^{2}$

pero nosotros no tenemos un (+2) tenemos un (-1), necesitamos que haya un (+2) para poder comprimir todo eso como un trignomio cuadrado perfecto  por el resultado que nos dan poder reemplazar eso =2  ¿que hacemos?,

Fácil, estás de acuerdo que si sumamos cero (0) a cualquier cosa no cambia, y estás de acuerdo que -3+3=0 entonces puedo hacer lo siguiente,

$\displaystyle m^{4}-1+\left(\frac{1}{m}\right)^{4}=m^{4}-1+(3-3)+\left(\frac{1}{m}\right)^{4}=m^{4}+2-3+\left(\frac{1}{m}\right)^{4} \\ \\ \\ ...=m^{4}+2+\left(\frac{1}{m}\right)^{4}-3=\left(m^{2}+\frac{1}{m^{2}}\right)^{2}-3$

entonces volvamos a donde nos quedamos,

$\displaystyle\frac{m^{12}+1}{3m^{6}}=\frac{2}{3}\left(\left(m^{2}+\frac{1}{m^{2}}\right)^{2}-3\right)$

pero ya sabemos lo que sabemos entonces,

$\displaystyle\frac{m^{12}+1}{3m^{6}}=\frac{2}{3}[\left(2\right)^{2}-3]=\frac{2}{3}(1)=\frac{2}{3}$
y confiando que no me equivoqué ninguna suma y resta...ese debería ser el resultado,

espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas

Answer 2

pero nosotros no tenemos un (+2) tenemos un (-1), necesitamos que haya un (+2) para poder comprimir todo eso como un trignomio cuadrado perfecto  por el resultado que nos dan poder reemplazar eso =2  ¿que hacemos?,