Question

El tablero de ajedrez: Cuenta la leyenda que un rey, maravillado con el juego del ajedrez, ofreció a su inventor concederle lo que le pidiera. Este, para darle una lección de humildad, le contestó: "Solo te pido un grano de arroz por la 1ª casilla del tablero, 2 por la 2ª, 4 por la 3ª y así sucesivamente, en cada una el doble que en la anterior. Al rey le pareció poca cosa así que aceptó. ¿Cuántos granos de arroz tuvo que pagarle? Intenta calcular, en casa, cuánto serían en kg.

Answer 1

Respuesta:

Tuvo que pagarle $2^{63}$ granos de arroz

Explicación paso a paso:

Consideremos la primera casilla: n = 1 -> 1

Para la segunda: n = 2 -> 2

Para la tercera: n = 3 -> 4

Para la casilla n: n = n -> $2^{n - 1}$

Como son 64 casillas en el juego de ajedrez seria $2^{64 - 1}$ que es lo mismo que $2^{63}$

Answer 2

PROGRESIONES  GEOMÉTRICAS (PG).

Este problema es muy conocido desde hace décadas y suele usarse para practicar lo que llamamos PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

Muy posiblemente estés dando ese tema de Matemáticas y sabrás que se trata de una sucesión de números llamados términos de la progresión donde cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija denominada razón "r".

Si conocemos varios términos de la PG, para saber su razón tan solo hemos de tomar un término y dividirlo entre el anterior aunque en este caso se adivina fácilmente cuál es la razón ya que el ejercicio deja claro que cada término tiene el doble de valor que el anterior así que la razón es  r = 2

Por otra parte sabemos también el valor del primer término al empezar por un grano de arroz y es  a₁ = 1

Y también sabemos el total de términos que tiene esta progresión que representamos con la letra "n" y que son el nº de casillas del tablero así que  n = 64

Y lo que necesito saber es el valor del último término  a₆₄  es decir, el que ocupa el lugar nº 64

Con esos tres datos conocidos se puede usar la fórmula general de este tipo de progresiones que dice:

$a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyo por los datos conocidos:

$a_{64}=1*2^{64-1}=2^{63}=9.223.372.036.854.775.808$

Nueve trillones, doscientos veintitrés mil trescientos setenta y dos billones, treinta y seis mil ochocientos cincuenta y cuatro millones, setecientos setenta y cinco mil ochocientos ocho granos de arroz.

Si consideramos de forma aproximada que un grano de arroz pesa un gramo, para calcular en kilogramos tan solo hay que dividir esa cantidad entre 1000 gramos que tiene un kilogramo y quedaría:

9.223.372.036.854.775 , 808  Kg.

Nueve mil doscientos veintitrés billones, trescientos setenta y dos mil treinta y seis millones, ochocientos cincuenta y cuatro mil setecientos setenta y cinco kilogramos y ochocientos ocho gramos