El Rey Hierón de Alejandría pidió a Arquímedes que examinara una corona de 10 kg
que había mandado a confeccionar de “oro puro”, pues dudaba de la honradez de su
joyero quien habría agregado plata. ¿Qué cantidad de oro tenía si pesada sumergida en
agua sufre una pérdida de 625 gr-R? (densidad del oro 19,3 y de la plata 10,5) ¿Cómo
demuestra usted con estos datos que habían engañado al rey?
Respuestas a la pregunta
Se demuestra que la corona no era de oro puro. El contenido de oro es de 7538 g ( 75,4 % del peso total de la corona).
Datos:
La diferencia de peso de la corona en el aire y sumergida es de 625 gramos.
P₁ = Peso en aire = 10 kg
P₂ = Peso sumergida en agua = 10 kg - 0,625 kg = 9,375 kg
densidad del oro = 19,3 g/cm³
densidad de la plata = 10,5 g/cm³
densidad del agua = 1 g/cm³
En base al Principio de Arquímedes:
densidad de la corona = (m real / (m real - m aparente) ) × densidad del agua.
densidad de la corona = (10000 g / 625 g) × 1 g/cm³ = 16 g/cm³
La densidad de la corona es menor que la densidad del oro, por lo tanto no está hecha de oro puro.
masa de la corona = masa de oro + masa de plata
Volumen de la corona = Volumen de oro + Volumen de plata
Densidad de la corona = (masa de oro + masa de plata) / Volumen de la corona
Volumen de la corona = masa / densidad = 10000 g/ (16 g/cm³) = 625 cm³
Masa de la corona = masa de oro + masa de plata
10000 = masa de oro + masa de plata (1)
Volumen de la corona = volumen de oro + volumen de plata
625 = ( masa de oro / densidad oro ) + (masa de plata/ densidad plata)
625 = (masa de oro/ 19,3 ) + (masa de plata / 10,5) (2)
Despejando masa de oro en (1) y sustituyendo en (2):
625 = ((10000 - masa de plata)/ 19,3) + ( masa de plata / 10,5 )
masa de plata = 2462 g
Entonces, masa de oro = 10000 - 2462 = 7538 g