Question

el rectángulo ABCD de área igual a 25. adentro se encuentra colocado un punto P (que no es la intersección de sus diagonales) el cual es el vértice común de cuatro triángulos que tienen bases sobre los lados del rectángulo. Si las bases de los triángulos negros sobre los lados AB y CD miden 2 y las bases de los triángulos grises sobre los lados BC y DA miden 4, calcula el valor del producto del área pintada de negro por el área pintada de gris.

Por favor ayudeme

Answer 1

El producto entre el área negra y el área gris en la figura planteada es 625/4

Explicación paso a paso:

Se puede demostrar que tanto el área negra como el área gris valen la mitad del área del rectángulo de esta forma:

En la imagen adjunta se representan las alturas de cada triángulo. Sumemos las áreas de los triángulos grises:

$A_G=\frac{BC.n}{2}+\frac{BC.(AB-n)}{2}\\\\A_G=\frac{BC.n}{2}+\frac{BC.AB-BC.n}{2}=\frac{BC.n+BC.AB-BC.n}{2}\\\\A_G=\frac{AB.BC}{2}$

Si hacemos lo mismo con el área negra vamos a llegar a la misma conclusión. El área negra es la mitad del área del rectángulo.

Ahora el producto entre el área gris y el área negra es:

$A_G.A_N=\frac{AB.BC}{2}+\frac{AB.BC}{2}\\\\A_G.A_N=\frac{AB^2.BC^2}{4}=\frac{A_R^2}{4}=\frac{25^2}{4}\\\\A_G.A_N=\frac{625}{4}$