Question

El radio de un cono circular recto esta aumentando la razon de 1.8 pulg/seg..

Answer 1

El radio de un cono circular recto está aumentando a razón de 1.8pulg/seg, mientras que su altura está disminuyendo a razón de 2.5pulg/seg. ¿Con que rapidez está cambiando el volumen del cono cuando el radio es de 120pulg y la altura es de 140pulg?

El volumen es

$v = \frac{\pi}{3} ( {r}^{2} h)$

Podemos usar la regla de la cadena

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = \frac{\pi}{3} (\frac{∂v}{∂r} \frac{dr}{dt} + \frac{∂v}{∂h} \frac{dh}{dt} )$

La constante la podemos colocar siempre al final

$\frac{∂v}{∂r} = 2rh$

$\frac{∂v}{∂h} = {r}^{2}$

$\frac{∂v}{∂r} \frac{dr}{dt} = (2rh)\frac{dr}{dt}$

$\frac{∂v}{∂h} \frac{dh}{dt} = {r}^{2}\frac{dh}{dt}$

Ahora sustituimos

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = \frac{\pi}{3}( \frac{∂v}{∂r} \frac{dr}{dt} + \frac{∂v}{∂h} \frac{dh}{dt} )$

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = \frac{\pi}{3} ((2rh)\frac{dr}{dt} + \frac{∂v}{∂h} \frac{dh}{dt} )$

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = \frac{\pi}{3}( 2rh\frac{dr}{dt} + {r}^{2}\frac{dh}{dt} )$

Datos

$r = 120pulg$

$h = 140pulg$

Velocidad de cambio de r es positiva ya que dice que aumenta

$\frac{dr}{dt} = 1.8 \frac{pulg}{s}$

velocidad de cambio de h es negativa ya que dice que disminuye

$\frac{dh}{dt} = - 2.5 \frac{pulg}{s}$

Sustituimos esos datos

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = \frac{\pi}{3}( 2rh\frac{dr}{dt} + {r}^{2}\frac{dh}{dt} )$

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = \frac{\pi}{3}( 2(120pulg)(140pulg)(1.8\frac{pulg}{s} ) + {(120pulg)}^{2}( - 2.5 \frac{pulg}{s} ))$

Haciendo esos cálculos

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = \frac{\pi}{3} (60480 \frac{ {pulg}^{3} }{s} + {(120pulg)}^{2}( - 2.5 \frac{pulg}{s} ))$

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = \frac{\pi}{3} ( 60480 \frac{ {pulg}^{3} }{s} + ( - 36000) \frac{ {pulg}^{3} }{s} )$

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = \frac{\pi}{3} (24480 \frac{ {pulg}^{3} }{s} )$

$\frac{∂v(r,h)}{∂t} = 8160\pi \frac{ {pulg}^{3} }{s}$