El punto que es el centro de una circunferencia inscrita en un triángulo es el Ortocentro Baricentro Incentro Circuncentro
Respuestas a la pregunta
Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo. Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.
Medianas y baricentro
Las medianas de un triángulo son las rectas que pasan por uno de sus vértices y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centroide, G.
En algunos países a las medianas se las llama transversales de gravedad, y esto se debe a que el baricentro coincide con el centro de gravedad del triángulo. Es decir, si cortas un triángulo, por ejemplo, en una cartulina y lo sujetas colgando de un hilo justo en su baricentro, el triángulo se mantiene en equilibrio.
Alturas y ortocentro
Las alturas de un triángulo son las rectas que pasan por uno de sus vértices y son perpendiculares al lado opuesto de dicho vértice, o a su prolongación.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro, H.
Recta de Euler
La recta de Euler de un triángulo es una recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo (hay otros puntos notables del triángulo que no hemos visto que también se encuentran en esta recta).
Se denomina así en honor al matemático suizo, Leonhard Euler, quien demostró la colinealidad de los mencionados puntos notables de un triángulo, en 1765.
e cumple que la distancia del baricentro al circuncentro es la mitad de la distancia del baricentro al ortocentro. Esta es una de tantas cosas que «molan» de las matemáticas.
Pues bien, visto todo esto nos podemos plantear algunas preguntas:
¿Dónde se encuentran situados respecto del triángulo cada uno de los puntos notables que hemos visto cuando el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo?
¿Hay algún tipo de triángulo en el que la recta de Euler también pase por el incentro?
¿En qué tipo de triángulos coincidirán el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro?
Podría contártelo directamente, pero mejor te propongo que lo intentes averiguar primero tú mismo con la siguiente actividad de Geogebra que hice para mis alumnos:
Puntos y rectas notables del triángulo. Actividad de Geogebra.
El triángulo que aparece puedes modificarlo a tu gusto moviendo sus vértices. A la izquierda verás que aparece un cuadro de texto con todos los puntos y rectas notables que hemos visto. Pues bien, si pinchas sobre el cuadrado que está a la izquierda de cada nombre, se representará en el dibujo. Si vuelves a pinchar en el mismo cuadrado, desaparecerá otra vez. De esta manera puedes trabajar con los puntos y/o rectas notables que te interesen en cada momento sin necesidad de que estén todos visibles.
Entonces vamos ahora sí a contestar a las preguntas que hice antes.
En un triángulo acutángulo (con sus tres ángulos agudos), el circuncentro, el incentro, el baricentro y el ortocentro se encuentran siempre en el interior del triángulo.
En un triángulo rectángulo (con un ángulo recto, de 90º), el incentro y el baricentro se encuentran en el interior del triángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, y el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.
En un triángulo obtusángulo (con un ángulo obtuso, mayor de 90º), el incentro y el baricentro se encuentran en el interior del triángulo, y el ortocentro y el circuncentro están en el exterior del triángulo.
La recta de Euler pasa también por el incentro en los triángulos isósceles (con dos lados y dos ángulos iguales). Da igual que sean acutángulos, rectángulos u obtusángulos.
Y, por último, el circuncentro, el incentro, el ortocentro y el baricentro coinciden en los triángulos equiláteros (con sus tres lados y sus tres ángulos iguales).
Y es lógico, ya que en este tipo de triángulos las mediatrices, bisectrices, medianas y alturas coinciden.
Respuesta:
Ten en cuenta que una figura puede ser;
Polígono Inscrito: Cuando el polígono está dentro de una circunferencia y todos sus vértices están sobre la circunferencia . Polígono Circunscrito: Cuando una circunfere ncia está dentro del polígono y la circunferencia es tangente a todos los lados del polígono