Question

El punto C(x,y) equidista de A(2,2) y de B(10,8) y el área del triangulo ABC es de 25 (Unidades cuadráticas). Hallar las coordenadas del punto C.

Answer 1

Las coordenadas del punto C que es equidistante de A y B es:

C(75/31, 303/31)

Explicación paso a paso:

Datos;

punto C(x, y) es equidista de A(2,2) y de B(10,8)

y el área del triangulo ABC es de 25 (Unidades cuadráticas).

Hallar las coordenadas del punto C.

Aplicar la formula de distancia entre dos puntos;

$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

Distancia AC;

Sustituir;

$d^{2} = (x_{c}-2)^{2}+(y_{c}-2)^{2}$

$d^{2} = x_{c}^{2} -4x_{c} +4 +y_{c}^{2} -4y_{c}+ 4$

Distancia CB;

$d^{2} = (10-x_{c})^{2}+(8-y_{c})^{2}$

$d^{2} = 100 - 20x_{c} + x_{c}^{2} + 64 -16y_{c}+ y_{c}^{2}$

Igualar;

$x_{c}^{2} -4x_{c} +4 +y_{c}^{2} -4y_{c}+ 4 = 100 - 20x_{c} + x_{c}^{2} + 64 -16y_{c}+ y_{c}^{2}$

$-4x_{c} +4 -4y_{c}+ 4 = 100 - 20x_{c} + 64 -16y_{c}$

• $16x_{c} +12y_{c}- 156 = 0$

Aplicar determinante para calcular el área del triángulo;

$Área = |\frac{det(m)}{2}|$

Siendo;

$det(m)= \left[\begin{array}{ccc}2&2&1\\10&8&1\\x_c&y_c&1\end{array}\right]$

det(m) = 2(8-y) -2(10-x) + (10y-8x)

det(m) = 16 - 2y -20 -2x + 10y - 8x

det(m) = -4 -10x +8y  

Área = (-4 -10x +8y )/2

Área = -2 - 5x + 4y

Sustituir;

Área = 25

25 = -2 -5x + 4y

• -5x + 4y - 27 = 0

Se obtiene 2 ecuaciones con dos incógnitas;

1. 16x + 12y -156 = 0
2. -5x + 4y - 27 = 0

Aplicar método de sustitución;

Despejar x de 2;

x = 4/5y -27/5

sustituir en 1;

16(4/5y - 27/5) + 12y = 156

64/5y -432/5 +12y = 156

124/5y = 156+432/5

124/5y = 1212/5

124y = 1212

y = 1212/124

y = 303/31

x = 4/5(303/31) - 27/5

x = 75/31