Question

El propietario de una casa tiene 40 metros de alambre y los quiere utilizar para cercar un jardin rectangular ¿ cuales son las dimenciones del cerco rectangular de modo que el area abarcada sea maxima?

Answer 1

Sea:

X = Largo del Jardin

Y = Ancho del Jardin

Como se dispone de 40 metros para cercar quiere decir que el perimetro del jardin debe ser 40 metros

P = X + Y + X + Y = 2X + 2Y = 40

2X + 2Y = 40

Ahora el area:

Area del Jardin = X.Y

Area debe ser la maxima.

De la ecuacion del perimetro podemos despejar alguna de la dos variables:

40 = 2X + 2Y

2Y = 40 - 2X

Y = (40 - 2X)/2

Y = 20 - X

Ahora reemplazamos este valor de Y en la ecuacion de area:

Area = X.Y = X(20 - X) = 20X - X²

f(x) = 20X - X² (Funcion a Maximizar)

Aplicamos el criterio de la primera derivada para f(x)

f(x) = 20X - X²

f´(x) = 20 - 2X

Hacemos f´(x) = 0 y vemos su comportamiento:

0 = 20 - 2X

2X = 20

X = 20/2

X = 10 metros

Hay un maximo cuando X = 10 metros

Reemplazamos el Valor de X = 10, en Y = 20 - X

Y = 20 - X

Y = 20 - 10

Y = 10 metros

Area = (10 metros)(10 metros) = 100 m²

Perimetro = 2(10 m) + 2(10 m) = 20 m + 20 m = 40 m

Las dimensiones deberian ser Largo = 10 metros, Ancho = 10 metros

 

Answer 2

Las dimensiones del jardín rectangular a cercar son:

• Largo = Ancho = 10 m

¿Cómo se obtiene el perímetro y área de un rectángulo?

Un rectángulo es un polígono de cuatro lados que se caracteriza por tener los lados opuestos iguales.

El perímetro de un rectángulo es la suma todas sus dimensiones.

P = 2 largo + 2 ancho

El área de un rectángulo es el producto de sus dimensiones.

A = largo × ancho

¿Cuáles son las dimensiones del jardín rectangular de modo que el area abarcada sea máxima?

Si el perímetro del jardín debe ser igual a la longitud del alambre.

P = 40 m

Siendo;

• a: largo
• b: ancho

Sustituir;

2a + 2b = 40

Despejar a;

a = 20 - b

Sustituir a en A;

A = (20 - b)(b)

A = 20b - b²

Aplicar derivada;

A' = d/db (20b - b²)

A' = 20 - 2b

Igualar a cero;

20 - 2b = 0

Despejar b;

2b = 20

b = 20/2

b = 10 m

Sustituir;

a = 20 - 10

a = 10 m

Puedes ver más sobre el área máxima aquí: https://brainly.lat/tarea/1443070