Question

El propietario de un rancho desea construir un corral rectangular con un área de 10,000 yardas cuadradas. Si el corral tiene la forma de la siguiente figura, determinar las dimensiones de x y y que requerirá la longitud mínima de barda. (Sugerencia: Determinese una función para la longitud total de barda que se requiere, en función de x y y. Entonces, recordando que xy =10 000, vuelva a establecer la función de x o y)​

Answer 1

El corral tiene que tener dimensiones x=y=100 yd para requerir la menor longitud de barda posible.

Explicación paso a paso:

Si el área del corral rectangular tiene que ser de 10.000 yardas cuadradas tenemos:

$x.y=10000$

El perímetro del corral es $P=2x+2y$, podemos despejar una de las variables de la expresión del área para poner todo en función de una sola variable:

$y=\frac{10000}{x}\\\\P=2x+2\frac{10000}{x}=2x+\frac{20000}{x}=\frac{2x^2+20000}{x}$

La longitud mínima de barda corresponde al mínimo perímetro, por lo que vamos a minimizar esta función perímetro derivando e igualando a cero:

$P'=\frac{4x.x-(2x^2+20000)}{x^2}=\frac{2x^2-20000}{x^2}\\\\2x^2-20000=0\\\\x=\sqrt{\frac{20000}{2}}=100yd$

Y la otra dimensión del corral es:

$y=\frac{10000yd^2}{100}=100yd$