Question

El profesor de Roxana le propone el siguiente problema: En una progresión geométrica el primer y quinto términos es 2 y 162 , respectivamente. Calcula el término que ocupa el vigésimo lugar de dicha progresión

Answer 1

Respuesta:

$a_{20}$ = 2.324.522.934

Explicación paso a paso:

Primero, tienes que averiguar cuál es la razón (el número por el que multiplicas un término para que te dé el siguiente), para poder averiguar por cuánto multiplicar para que te dé el término 20.

Hay una fórmula en las progresiones geométricas que relaciona 2 términos cualesquiera de esa sucesión

$a_{q} = a_{p}$ × $r^{q-p}$

Dónde "r" es la razón y las dos a dos números de uan sucesión.

Pues bien, ahora hay que aplicarlo a nuestra situación.

El término $a_{1}$ es 2, y el $a_{5}$ es 162. Es muy fácil, solo sustituyes. Lo más fácil es poner como $a_{q}$ el número que tenga la posición más alta, para que luego no te quede una potencia negativa en la "r", pero se puede hacer también. yo lo voy a hacer poniendo primero 162:

162 = 2 × $r^{5-1}$ → r = $\sqrt[4]{162/2}$ = 3

Ahora que ya sabes la razón, solo tienes que hacer el término general de la progresión. En las progresiones geométricas la fórmula es $a_{n} = a_{1}$ × $r^{n-1}$, donde $a_{n}$ es un número cualquiera. Pues lo aplicamos a nuestro caso:

$a_{20}$ = 2 (porque es el priemr término) × $3^{19}$ = 2.324.522.934

Y ya estaría, espero que te haya servido ;)