Question

. El producto interno entre vectores en R3 es el producto punto usual. Determine si los siguientes conjuntos de vectores son ortogonales, ortonormales o ninguno de los dos.
a) {(4,-1,1) , (-1,0,4) , (-4, -17, -1) }
b) {(2,-4,2) , (0,2,4) , (-10, -4, 2) }

Answer 1

Los dos conjuntos son ortogonales

Para poder determinar si dos vectores son ortogonales u ortonormales, debemos saber las condiciones para las que cada vector entra dentro de una de estas categorías

• Vectores ortogonales: Dos vectores se dicen ortogonales entre sí si y solo si su producto punto es 0.
• Vectores ortonormales: Dos vectores se dicen ortonormales entre sí si y solo si su producto punto es 0 y estos vectores son unitarios.

Nota:

• El producto punto de dos vectores v=(x1, y1, z1) y u = (x2, y2, z2) es v·u = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2
• Un vector v es unitario si el producto punto v·v es igual a 1, es decir, v·v = 1

Teniendo esto claro, debemos ver si dentro de un conjunto, todos los vectores son ortogonales u ortonormales entre si. En el primer conjunto, notamos que ningún vector es unitario, por lo que no puede ser ortonormal; vamos a verificar que sea ortogonal

(4,-1,1) · (-1,0,4) = 4(-1) + 0(-1) + 4*1 = -4 + 4 = 0

(4,-1,1) · (-4, -17, -1) = 4(-4) + (-1)(-17) + 1(-1) = -16+17-1 = 0

(-1,0,4) · (-4, -17, -1) = (-1)(-4) + 0(-17) + 4(-1) = 4-4 = 0

Como vimos, todos los productos puntos son 0, por lo que el conjunto esta formado por vectores ortogonales

Ahora, solo falta verificar el segundo conjunto; nuevamente, ningún vector es unitario, por lo que este conjunto no puede ser ortonormal, pero, vamos a verificar que sea ortogonal:

(2,-4,2) · (0,2,4) = 2*0 +2(-4) + 2*4 = -8+8 = 0

(2,-4,2) · (-10, -4, 2) = 2(-10) + (-4)(-4) + 2*2 = -20 +16+4 = 0

(0,2,4) · (-10, -4, 2) = 0(-10) + 2(-4) + 4(2) = -8+8 = 0

Vemos que el segundo conjunto también es ortogonal