Matemáticas, pregunta formulada por TheJack, hace 1 año

El producto de tres numeros consecutivos es igual a ocho veces su suma. La suma de los cuadrados de esos numeros es igual a

Respuestas a la pregunta

Contestado por JuanRicardo
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SEA:

\boldsymbol{x:}\text{El primer n\'umero.}\\\boldsymbol{x+1:}\text{El segundo n\'umero.}\\\boldsymbol{x+2:}\text{El tercer n\'umero.}

Planteamiento: Si nos dicen que el producto de tres números consecutivos es igual a ocho veces su suma, entonces planteas:

\boxed{\boxed{\mathbb{EXPRESIONES:}}}\Longrightarrow\quad\begin{matrix} \textbf{El producto de tres} & \textbf{Ocho veces su}\\ \textbf{n\'umeros consecutivos:} & \textbf{suma:}\\ \\ (x)(x+1)(x+2)&8(x+x+1+x+2) \end{matrix}


RESOLVIENDO: Ahora igualas las expresiones para armar nuestra ecuación:

(x)(x+1)(x+2)=8(x+x+1+x+2)\\ \\(x^2+x)(x+2)=8(3x+3)\\ \\x^3+2x^2+x^2+2x=24x+24\\ \\x^3+3x^2+2x=24x+24\\ \\x^3+3x^2+2x-24x-24=0\\ \\x^3+3x^2-22x-24=0\quad\to\textbf{Resuelves por m\'etodo de Ruffini.}


Tenemos una ecuación cubica de la forma ax³ + bx² + cx + d = 0, siendo sus coeficientes:

\boldsymbol{a}=1\\\boldsymbol{b}=3\\\boldsymbol{c}=-22\\\boldsymbol{d}=-24\to\textbf{T\'ermino independiente (TI).}


Defines el conjunto de divisores del término independiente (d), en donde:

P=D_{24}=\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24\}


Defines el conjunto de divisores del término con mayor exponente (a), en donde:

q=D_{1}=\{\pm1\}


Si el término con mayor exponente tiene como coeficiente el número 1, en consecuencia, el conjunto de posibles raices queda así:

\dfrac{P}{q}=\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24\}


Ahora armamos una división sintética, en donde evaluas cada posible raíz; en este caso, el número buscado dio como resultado - 1:


\begin{matrix} \textbf{T\'ermino:} &&\hspace{5}\boldsymbol{x^3}&\hspace{5}\boldsymbol{x^2}&\hspace{5}\boldsymbol{x}&\textbf{TI}\\ \textbf{Coeficiente:} && 1&3&-22&-24\\&&&-1&-2&\hspace{7}24 \end{matrix}\begin{vmatrix} \\ \boldsymbol{x_{1}=-1}\to\boxed{\textbf{Primera ra\'iz.}}\\\textbf{===============} \end{matrix}\\\text{--------------------------------------------------------}\\\begin{matrix}\textbf{Suma:} &&&&\hspace{8}1&&\hspace{4}2&\hspace{3}-24&&0 \end{matrix}


Con los resultados de la suma armas una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0, en donde dichos números serán sus coeficientes:

x^2+2x-24=0\quad\to\textbf{Resuelves por factorizaci\'on.}\\ \\(x+6)(x-4)=0\\ \\ \\\boldsymbol{x_{2}}=-6\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Segunda ra\'iz.}}\\ \\\boldsymbol{x_{3}}=4\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Tercera ra\'iz.}}


Como X₁ y X₂ son números negativos, se descartan, luego:

X₃ = 4  ===> El primer número.

4 + 1 = 5  ===> El segundo número.

4 + 2 = 6  ===> El tercer número.


Pero nos piden hallar la suma de los cuadrados de esos números, entonces:

4^2+5^2+6^2=\ ?\\ \\16+25+36=77\quad\Longrightarrow\boxed{\boxed{\mathbb{RESPUESTA}\ \checkmark}}


\textbf{COMPROBACI\'ON:}\ \text{El producto de tres n\'umeros consecutivos es igual a}\\\text{ocho veces su suma:}\\(4)(5)(6)=8(4+5+6)\\120=8(15)\\120=120\ \checkmark\\\textbf{MUCHA SUERTE...!!}

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