Question

El producto de tres numeros consecutivos es igual a ocho veces su suma. La suma de los cuadrados de esos numeros es igual a

Answer 1

SEA:

$\boldsymbol{x:}\text{El primer n\'umero.}\\\boldsymbol{x+1:}\text{El segundo n\'umero.}\\\boldsymbol{x+2:}\text{El tercer n\'umero.}$

Planteamiento: Si nos dicen que el producto de tres números consecutivos es igual a ocho veces su suma, entonces planteas:

$\boxed{\boxed{\mathbb{EXPRESIONES:}}}\Longrightarrow\quad\begin{matrix} \textbf{El producto de tres} & \textbf{Ocho veces su}\\ \textbf{n\'umeros consecutivos:} & \textbf{suma:}\\ \\ (x)(x+1)(x+2)&8(x+x+1+x+2) \end{matrix}$

RESOLVIENDO: Ahora igualas las expresiones para armar nuestra ecuación:

$(x)(x+1)(x+2)=8(x+x+1+x+2)\\ \\(x^2+x)(x+2)=8(3x+3)\\ \\x^3+2x^2+x^2+2x=24x+24\\ \\x^3+3x^2+2x=24x+24\\ \\x^3+3x^2+2x-24x-24=0\\ \\x^3+3x^2-22x-24=0\quad\to\textbf{Resuelves por m\'etodo de Ruffini.}$

Tenemos una ecuación cubica de la forma ax³ + bx² + cx + d = 0, siendo sus coeficientes:

$\boldsymbol{a}=1\\\boldsymbol{b}=3\\\boldsymbol{c}=-22\\\boldsymbol{d}=-24\to\textbf{T\'ermino independiente (TI).}$

Defines el conjunto de divisores del término independiente (d), en donde:

$P=D_{24}=\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24\}$

Defines el conjunto de divisores del término con mayor exponente (a), en donde:

$q=D_{1}=\{\pm1\}$

Si el término con mayor exponente tiene como coeficiente el número 1, en consecuencia, el conjunto de posibles raices queda así:

$\dfrac{P}{q}=\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24\}$

Ahora armamos una división sintética, en donde evaluas cada posible raíz; en este caso, el número buscado dio como resultado - 1:

$\begin{matrix} \textbf{T\'ermino:} &&\hspace{5}\boldsymbol{x^3}&\hspace{5}\boldsymbol{x^2}&\hspace{5}\boldsymbol{x}&\textbf{TI}\\ \textbf{Coeficiente:} && 1&3&-22&-24\\&&&-1&-2&\hspace{7}24 \end{matrix}\begin{vmatrix} \\ \boldsymbol{x_{1}=-1}\to\boxed{\textbf{Primera ra\'iz.}}\\\textbf{===============} \end{matrix}\\\text{--------------------------------------------------------}\\\begin{matrix}\textbf{Suma:} &&&&\hspace{8}1&&\hspace{4}2&\hspace{3}-24&&0 \end{matrix}$

Con los resultados de la suma armas una ecuación cuadrática de la forma ax² + bx + c = 0, en donde dichos números serán sus coeficientes:

$x^2+2x-24=0\quad\to\textbf{Resuelves por factorizaci\'on.}\\ \\(x+6)(x-4)=0\\ \\ \\\boldsymbol{x_{2}}=-6\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Segunda ra\'iz.}}\\ \\\boldsymbol{x_{3}}=4\quad\Longrightarrow\boxed{\textbf{Tercera ra\'iz.}}$

Como X₁ y X₂ son números negativos, se descartan, luego:

X₃ = 4  ===> El primer número.

4 + 1 = 5  ===> El segundo número.

4 + 2 = 6  ===> El tercer número.

Pero nos piden hallar la suma de los cuadrados de esos números, entonces:

$4^2+5^2+6^2=\ ?\\ \\16+25+36=77\quad\Longrightarrow\boxed{\boxed{\mathbb{RESPUESTA}\ \checkmark}}$

$\textbf{COMPROBACI\'ON:}\ \text{El producto de tres n\'umeros consecutivos es igual a}\\\text{ocho veces su suma:}\\(4)(5)(6)=8(4+5+6)\\120=8(15)\\120=120\ \checkmark\\\textbf{MUCHA SUERTE...!!}$