Question

El problema es: Halla el área del segmento circular abc siendo la longitud del arco igual a 2r (r es radio). Eso es lo unico que me dan

Answer 1

Bueno cuando pone con imagen la situación es diferente , en efecto a esa región se le denomina segmento circular , que es una porción de círculo como en la figura .

En este caso hay que hacer una diferencia , el área del sector menos el área del triángulo .

$\displaystyle \text{\'Area del sector }=\frac{L\cdot r}{2} \\[2pt] \Rightarrow \ \text{\'Area del sector }=\frac{(2R)\cdot R}{2}=R^2 \\[6pt] \text{Adem\'as } \ L=\theta \cdot r \Rightarrow \ 2R=\theta \cdot R \ \Rightarrow \ \theta =2 \\[6pt] \displaystyle \text{\'Area del tri\'angulo }=\frac{a \cdot b\cdot \sin\theta}{2} \\[4pt] \Rightarrow \text{\'Area del tri\'angulo }=\frac{R\cdot R \cdot \sin 2}{2}=\frac{R^2 \sin 2 }{2}$

$\displaystyle \text{Entonces el \'area del segmento circular es : }\\[4pt] Area =R^2-\frac{R^2 \sin 2 }{2}=\frac{R^2(2-\sin 2)}{2} \ \leftarrow \ Respuesta .$

NOTA : 

El ángulo es igual a 2 radianes , NO está con el símbolo de grado sexagesimal ( 2° ) , sino simplemente 2 que es 2 radianes, si gustas lo conviertes a grados ya depende de cada uno .

Existen diversas fórmulas para el área de un triángulo , la que pongo una de ellas , es igual al producto de lados multiplicado por el Seno del ángulo que forman , todo esto dividido por 2 .

Al igual que el ejercicio anterior (a falta de datos le di otra interpretación) este resultado depende del valor del radio R .

Answer 2

primero debemos buscar que angulo tiene si sabemos que la circunferencia se dividió en una cantidad x para que quedara en 2r tenemos que encontrar ese x para saber que angulo tiene
$(\pi \times diametro) \div x = diametro \\ (\pi \times d) \div d = x \\ \pi = x$
ahora sabemos que 360 se dividió en pi y ahí tendremos nuestro angulo 360÷pi que es aproximadamente 120 entonces el área del sector circular es
$\pi \times r {}^{2} \times (\pi \div 360) \div 360 \\ {\pi}^{2} \times r {}^{2} \div {360}^{2}$
y ahora hay que encontrar el area del triángulo y restarse la para eso sacaremos el largo del tercer lado para poder encontrar la altura (x=largo tercer lado )
$\sin(30) \div r = \sin(360 \div \pi) \div x \\ x = 2r \sin(360 \div \pi) \\ x = 909r \div 500$
y para sacar la altura trataremos está diciendo que mide" y" como sabemos que forma un triángulo rectángulo (X/2)²+y²=r²
${(x \div 2)}^{2} + y {}^{2} = r {}^{2} \\ - {x}^{2} \div 4 + r {}^{2} = {y}^{2} \\ \sqrt{ - {x}^{2} \div 4 + r {}^{2} } = y$
y el área de un triángulo es base por altura entonces x por y = área del triángulo y el área del segmento es
${\pi}^{2} + r {}^{2} \div {360}^{2} - xy$