Question

El primer termino de una sucesion aritmetica es 12 y la suma de los 5 primeros terminos es 90. Calcular el termino a5 y el termino general an

Answer 1

Respuesta:

Término $a_{5} = 24$ y el término $a_{n} = 3n + 9$

Explicación paso a paso:

Consideremos los datos del problema:

$a_{1} = 12$

$S_{5} = 90$

Recordemos la fórmula para hallar la Suma de "n" números en un sucesión aritmética: $S_{5} = \frac{(a_{1} + a_{5})n}{2}$; donde:

$a_{1}$ = primer término (en este caso nos lo dan, es 12)

$a_{5}$ = quinto término (es el último término de una sucesión de 5 números)

n = número de términos de la sucesión (en este caso es 5)

Ahora reemplazamos los datos dados en nuestra ocasión de la Suma de los 5 términos:

$S_{5} = \frac{(a_{1} + a_{5})n}{2}$

$90 = \frac{(12 + a_{5})5 }{2}$   (pasamos el número 2 a multiplicar)

(90)(2) = (12 + $a_{5}$)5  (ahora pasamos el 5 a dividir)

(90)(2)/5 = (12 + $a_{5}$) resolvemos

36 = 12 + $a_{5}$   (pasamos el 12 a restar)

24 = $a_{5}$    (quinto término)

Ahora, para calcular el término general, antes debemos calcular la razón o diferencia que hay entre los términos de la sucesión. Para ello lo calcularemos del quinto término:

$a_{5} = a_{1} + r(n - 1)$   (reemplazando los datos que ya conocemos)

24 = 12 + r(5 - 1)     (pasamos el 12 a restar)

12 = r (4)      (pasamos el 4 a dividir)

3 = r     (razón o diferencia)

Procedemos a reemplazar los valores que tenemos en la fórmula correspondiente para calcular el término general:

$a_{n} = a_{1} + r(n - 1)$  

$a_{n} = 12 + 3(n - 1)$   (aplicamos la propiedad distributiva)

$a_{n} = 12 + 3n - 3$     (efectuamos la diferencia y ordenamos términos)

$a_{n} = 3n + 9$     (término general)