Question

El primer término de una progresión aritmética es 22, y su diferencia, —3. Calcula su término general, el término que ocupa el lugar décimo y el lugar que ocupa el término que vale —26. (para calcular el término es calcular el valor de n).

Es un problema de progresiones. Lo tengo que entregar hoy.

Answer 1

PROGRESIONES ARITMÉTICAS (P.A.)

Ejercicios

Ya supongo que conoces lo que determina que una sucesión de números sea una progresión aritmética pero te lo recuerdo.

Se trata de una progresión de números (llamados "términos" de la PA) con la característica de que van relacionados de forma que cada número es el resultado de añadir una cantidad fija (positiva o negativa) llamada diferencia "d" al término anterior.

Así pues, en esta PA en concreto nos dicen que el primer término  a₁  tiene un valor de 22 y la diferencia con los siguientes es -3

Eso ya nos dice que la progresión es decreciente, es decir, el valor de los términos va disminuyendo en lugar de aumentar puesto que lo que vamos a sumar a cada término es un número con signo negativo. Así tendremos que esta PA se construye:

• a₁ = 22
• a₂ = 22 + (-3) = 22-3 = 19
• a₃ = 19 + (-3) = 19-3 = 16 ... y así sucesivamente...

Para calcular su término general se acude a la fórmula general para este tipo de progresiones que dice:  $a_n=a_1+(n-1)*d$

Y lo que tenemos que hacer es sencillamente sustituir los datos conocidos, es decir, el valor del primer término  a₁ = 22  y la diferencia  d = -3 y reducir a su mínima expresión, así:

$a_n=22+(n-1)*(-3)\\ \\ a_n=22-3n+3\\ \\ \boxed{a_n=25-3n}$

Y aquí nos queda el término general que construye esa PA.

Dando valores a "n" verás que van saliendo los mismos números que antes hemos sacado de forma más manual:

• Para n=1 ... a₁  =  25 - 3×1  =  25 - 3  =  22
• Para n=3 ... a₂ =  25 - 3×2  =  25 - 6  =  19
• Para n=3 ... a₃ =  25 - 3×3  =  25 - 9  =  16 ... etc...

Para saber el término que ocupa el 10º lugar (a₁₀)  tan solo hemos de sustituir "n" por ese número de orden (10) en esa expresión y sabremos el valor de ese término:

a₁₀ = 25 - 3×10  =  25 - 30  =  -5 es el valor del décimo término.

Para calcular el lugar que ocupa el término cuyo valor es -26, diremos que ese término es  aₙ  puesto que no conocemos el número de orden y que es justamente lo que nos pide calcular.  Tenemos entonces que:  aₙ = -26

Recurrimos a la fórmula primera que he anotado. La general para todas estas progresiones:   $a_n=a_1+(n-1)*d$

Sustituyo términos conocidos y calculo "n".

$-26=22+(n-1)*(-3)\\ \\ -26-22=-3n+3\\ \\ -48-3=-3n\\ \\ -51=-3n\\ \\ n=\dfrac{-51}{-3}\\ \\ \boxed{n=17}$

Con esto queda calculado el lugar que ocupa el término cuyo valor es -26 y es el lugar 17º

Saludos.