El primer término de una progresión aritmética es 117; el último término es –30 y la suma de todos los términos es 2 175. ¿Cuántos términos tiene dicha progresión?
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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Sea una sucesión cualquiera, formada por los elementos: 2, 5, 8, 11, ...
Cualquiera sería capaz de decirme, cual es el elemento siguiente. Seguro que me dirá que el número 14. Y el siguiente, el 17.
Vemos que si sumamos 3 al último número, encontramos el siguiente.
Lamamos a1 al número 2, que es el primer término; a2, al 5, que es el segundo término...
Si al segundo término le restamos el primero, encontramos el número 3 que es la clave para hallar los siguientes números.
Por lo tanto a2 - a1 = 3; a éste número le llamaremos diferencia. o tambien "d".
a1 a1= 2
a2= a1 + d a2= 2 + 3 = 5
a3= a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d a3= 2 + 2.3 = 2 + 6 = 8
a4= a1 + 3d a4 = 2 +3.3 = 2 + 9 = 11
a5= a1 + 4d
a9= a1 + 8d
a157= a1 + 156d
an= a1 + (n-1)d
Esta fórmula es fundamental para hallar el último término de una progresión aritmética.
...oooOOOooo...
Vamos a averiguar otra fórmula fundamental: la de la suma.
Sean los elementos: 2, 5, 8, 11, 14; creo que la suma da 40. Por lo tanto podemos escribir:
40 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 o también
40 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2
---------------------------------------- Por lo tanto, si sumamos miembro a miembro, resulta:
80 = 16 + 16 + 16 + 16 + 16
Oh! que casualidad, siempre grupos de 16. Precisamente 5 grupos. Tantos como términos.
Vamos a hacerlo con letras:
S = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
S= an + an-1 + an-2 + ... + a3 + a2 + a1
----------------------------------------------------------
2S = (a1+an) + (a2+an-1) + (a3+ an-2)+...+(an-2+a3) + (an-1+a2) + (an+a1)
Como que hay n grupos iguales, resulta:
2S = (a1+an) * n
S = (a1+an) * n / 2
La cantidad de términos que tiene la progresión aritmética es: 50 términos.
Progresión aritmética
Es una sucesión en la que cada uno de los términos, excepto el primero, se obtienen sumando o restando al anterior una constante.
Su expresión viene dada por:
aₙ= a₁ + d(n-1)
Sn = n(a₁+aₙ)/2
En donde:
a₁: primer termino
aₙ: es el último término
n: cantidad de términos
d: es la razón o diferencia entre los términos
Sn: es la sumatoria de los términos
Datos:
a₁ =117
aₙ = -30
Sn = 2175
La cantidad de términos que tiene la progresión aritmética es:
2175 = n(117-30)/2
4350 = n87
n = 50 términos
Si quiere saber más de progresión aritmética vea: https://brainly.lat/tarea/6609406
