Question

el primer termino de una P.G es 3 y el 8° es 384. Hallar la razon y la suma de los terminos de la progresion​

Answer 1

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS. Ejercicios.

La abreviatura P.G. se refiere a "progresión geométrica" la cual se forma con una sucesión de números llamados términos de la PG que están relacionados entre sí de manera que cada término se obtiene de multiplicar el anterior por un número invariable llamado razón "r".

Así, por ejemplo si tenemos un primer término que representamos como a₁ cuyo valor es 5 y queremos construir una progresión de razón 2, iremos multiplicando sucesivamente por dicha razón de modo que iremos obteniendo el valor de los términos siguientes:

• a₁ = 5
• a₂ = 5×2 = 10
• a₃ = 10×2 = 20
• a₄ = 20×2 = 40 ... y así sucesivamente se va formando la progresión.

En este ejercicio nos dan los siguientes datos:

• Primer término ... a₁ = 3
• Octavo término ... a₈ = 384 ... este término se considera el último (aₙ)
• Número de términos ... n = 8 ... porque el último término conocido es el octavo

Se recurre a la fórmula general para este tipo de progresiones que dice:

$a_n=a_1*r^{n-1}$   ... sustituyo los datos conocidos y resuelvo...

$a_8=384=3*r^{8-1} \\ \\ \\ \dfrac{384}{3} =r^7\\ \\ \\ r^7=128\\ \\ \\ r=\sqrt[7]{128} =2$

Hemos calculado la razón de esta PG y con ese dato y los demás conocidos de antes ya se puede calcular la suma de los ocho términos (Sₙ)  de dicha PG usando la fórmula para ello que dice:

$S_n=a_1*\dfrac{r^{n-1} }{r-1} \\ \\ \\ S_8=3*\dfrac{2^{8}-1 }{2-1} =\dfrac{3*(256-1)}{1} =3*255=765$

Razón de esta PG = 2

Suma de términos de esta PG = 765

Saludos.