Question

El piloto de un avión que viaja a 150 km/h quiere soltar provisiones a las víctimas de una inundación que se encuentran aisladas en un terreno localizado 200 m por debajo del avión. ¿Qué distancia horizontal recorrerá la caja antes de tocar el suelo?

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Answer 1

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ de la caja es de 263.35 metros siendo esta magnitud la distancia horizontal que recorrerá la caja antes de tocar el suelo    

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$  debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

Convertimos la velocidad inicial del lanzamiento de kilómetros por hora a metros por segundo

Sabemos que en un kilómetro hay 1000 metros

Sabemos que en 1 hora hay 3600 segundos

Luego

$\boxed {\bold {V_{0x} =150\ \frac{\ km}{h} \ . \left(\frac{ 1000 \ m }{1 \not km} \right) \ . \ \left(\frac{ 1 \not h }{ 3600 \ s} \right) = \frac{150000}{3600}\ \frac{m}{s} = 41.\overline{66} \ \frac{m}{s} }}$

Calculamos el tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la caja de provisiones

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Considerando la altura H desde donde ha sido soltada

$\bold {H= 200 \ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 200 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 400 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{40\ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 6.324555 \ segundos } }$

$\large\boxed {\bold { t = 6.325 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo o de permanencia en el aire de la caja es de 6.325 segundos, luego llegará al suelo para ese instante de tiempo

Determinamos el alcance horizontal de la caja o su distancia horizontal recorrida

Dado que en el eje X se tiene un MRU para hallar el alcance o la distancia horizontal recorrida por el proyectil, basta multiplicar la velocidad horizontal inicial por el tiempo de vuelo

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =V_{x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { d =41.\overline{66} \ \frac{m}{\not s} \ . \ 6.325\ \not s }}$

$\large\boxed {\bold { d =263.35 \ metros}}$

El alcance horizontal  $\bold { x_{MAX} }$ de la caja es de 263.35 metros siendo esta magnitud la distancia horizontal que recorrerá la caja antes de tocar el suelo

Se adjunta gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento