Question

el perímetro de un triangulo rectángulo es de 40 cm y su área es de 60 cm cuadrados¿ cuales son las longitudes de los lados

Answer 1

Cateto mayor: a
Cateto menor: b
Hipotenusa: c

1ª ecuación:
c = √b²+a²

2ª ecuación:
a+b+c = 40

3ª ecuación:
a·b / 2 = 60 -------> a·b = 120 -----> b = 120/a

Sustituyo el valor de "c" de la 1ª en la 2ª...

a+b+(√b²+a²) = 40 ---> √b²+a² = 40-(a+b) ... elevo al cuadrado en los dos lados...
b²+a² = 1600 +(a+b)² -80(a+b) --------> b²+a² = 1600 +a² +b² +2ab -80a -80b

---> 0 = 1600 +2ab -80a -80b ... sustituyo aquí el valor de "b" de la 3ª...

---> 0 = 1600 +2a(120/a) -80a -80(120/a)

---> 0 = 1600 +240 -80a -9600/a

---> 0 = 1600a +240a -80a² -9600 -----> dividiendo todo por 80 --->

---> 0 = 20a +3a -a² -120

---> a² -23a +120 = 0 ... a resolver por fórmula general...
               ________
      –b ± √ b² – 4ac
x = ▬▬▬▬▬▬▬ ... de donde nos sale esto:
              2a

x₁ = (17+7)/2 = 12 cm. mide el cateto mayor
x₂ = (17-7)/2 = 5 cm. mide el menor.

El lado restante (la hipotenusa) la calculo por Pitágoras:

c = √b²+a² =√12²+5² =√144+25 =√169 = 13 cm.

Saludos.