Question

el perímetro de un triangulo rectángulo es 6,0 m, y las medidas de sus lados están en progresión aritmética. Calcula el área de dicho triángulo.

a) 2,5m²
b) 3,0m²
c) 1,5m²
d) 3,5m²
e) 2,0m²

Answer 1

Respuesta:

c) $1.5m^{2}$

Explicación:

Denominamos a los catetos como "a" y "b" y a la hipotenusa como "c"

La suma de esos tres lados es el perímetro; por tanto:

$a+b+c=6m$

El ejercicio nos dice que las medidas de los lados están en progresión aritmética, es decir, hay una diferencia "d" que se presenta entre la medida de cada lado. Eso significa:

El primer lado es "a"; el segundo lado "b" es "a+d"; el tercer lado "c" es "a+2d"

Sumamos: a+a+d+a+2d=6;   3a+3d=6;  simplificamos sacando tercera:

a+d=2, pero ya habíamos dicho que b=a+d; por tanto b=2

Tenemos entonces: a+2+c=6. Si despejamos c tenemos:

c=6-2-a, o sea: c=4-a

Como es un triángulo rectángulo, aplicamos el T de Pitágoras, para despejar "a":  (recordemos que c=4-a) "c" es hipotenusa.

$(4-a)^{2}=a^{2}+2^{2}$   desarrollamos el binomio y operamos:

$a^{2}-8a+16=a^{2}+4$     podemos ahora eliminar $a^{2}$

$-8a+16=4$;    $-8a=4-16$;   $-8a=-12$;  $a=\frac{12}{8}$ ;  $a=1.5m$

Ahora que conocemos cuánto mide "a" y cuánto mide "b", podemos despejar la medida de "c" en la igualdad inicial:

1.5m+2m+c=6m;   c=6m-3.5m:    c=2.5m

Tenemos entonces que los catetos miden 1.5 y 2; la hipotenusa mide 2.5

La diferencia "d" en la sucesión es 0.5

Un cateto es la base y el otro cateto es la altura. Aplicamos la fórmula del área del triángulo:

$A=\frac{b*h}{2}=\frac{1.5m*2m}{2}=1.5m^{2}$

La respuesta es c