el pentagono es el edificio sede del departamento de defensa de los estados unidos de america. En el trabajan aproximadamente 23,000 empleados militares y civiles, cerca de 3000 de personal de apoyo. Su estructura consta de cinco anillos concentricos conectados por 10 corredores y cubre un area de 136,818 m2. Cada lado exterior mide 282 m de largo po 24m de altura. En el centro de este edificio se encuentra una pequeña estructura pentagonal sobre la cual se colocara un mastil que sostiene la bandera estaunidense.
A) A que distancia de la mitad de cada ñadp se tendria que situar el mastil?
B)Cual seria la distancia del mastil a un vertice del anillo exterior del edificio
C)se va a construir un solo pasillo lineal que va a unir a los vertices mas lejanos ¿Que Longitud tendira este pasillo?
D)Cuanto mide el angulo interno de cada vertice?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
A) La bandera se encontrará equidistante de los lados una distancia de 194,06 metros.
B) La distancia del mástil a cualquier vértice del anillo externo es de 239,87 metros.
C) La longitud del Pasillo = 331,51 m
D) Cada ángulo interno de pentágono mide 72°
Explicación paso a paso:
Datos:
Lado = 282 m
Área = 136.818 m2
Para mejor comprensión, análisis y solución del problema se plantea el diagrama de la figura anexa. (ver imagen)
A) A que distancia de la mitad de cada lado se tendría que situar el mástil?
Se debe calcular la Apotema (ap) que es la distancia requerida.
El área (A) de un polígono regular está determinada por:
A = Perímetro x Apotema/2
Perímetro (P) = n Lado
P = 5 x 282 m = 1.410 m
P = 1.410 metros
Como se tiene el área (A) se despeja la apotema.
ap = 2A/P
ap = 2(136.818 m2)/1.410 m = 194,06 m
ap = 194,06 metros
La bandera se encontrará equidistante de los lados una distancia de 194,06 metros.
B) Cual sería la distancia del mástil a un vértice del anillo exterior del edificio.
De acuerdo a la figura esta sería la longitud del radio del circulo circunscrito lo que es lo mismo que la longitud de uno de los lados del triángulo rectángulo que se forma entre el punto central, la apotema y la mitad del lado, es decir, la hipotenusa.
r2 = (L/2)2 + (ap)2
r2 = (282/2)2 + (194,06)2 = 19.881 m2 + 37.659,28 m2 = 57.540,28 m2
r2 = 57.540,28 m2
Despejando r.
r = √57.540,28 m = 239,87 m
r = 239,87 metros
La distancia del mástil a cualquier vértice del anillo externo es de 239,87 metros.
C) Se va a construir un solo pasillo lineal que va a unir a los vértices más lejanos ¿Que Longitud tendría este pasillo?
De la imagen se observa que se forma un triángulo isósceles entre los lados externos del pentágono y el pasillo más largo, y se tiene la longitud de los lados externos y el ángulo diferente.
Si se observa, los ángulos α y β tiene la misma magnitud (α = β).
Aplicando la Ley de los Senos.
Pasillo/Sen 72° = 282 m/Sen α
Por teoría se conoce que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°.
180° = 72° + 2α
2α = 180° - 72° = 108°
2α = 108°
α = 108°/2 = 54°
α = 54°
Pasillo = 282 m (Sen 72°/Sen 54°) = 331,51 m
Pasillo = 331,51 m
D) ¿Cuánto mide el ángulo interno de cada vértice?
Para calcular la medida de cada interno se divide 360° entre la cantidad de ángulos internos de la figura geométrica.
∡ = 360°/n
∡ = 360°/5 = 72°
∡ = 72°
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Explicación paso a paso:
Respecto a la respuesta anterior, todas las respuestas de los incisos están bien exepto el inciso D, la respuesta no es 72°, la respuesta correcta es 108°.
Ya que la suma de los ángulos internos de un pentágono debe de dar 540°
108° X 5 = 540°