Question

El papel aluminio que se utiliza para guardar alimentos tiene un espesor aproximado de 0.001 pulgadas. Suponga que todas las celdas unitarias del aluminio se encuentran organizadas de manera que a0 sea perpendicular a la superficie del papel. En el caso de una hoja cuadrada de 4 pulgadas por lado, determine: a) El número total de celdas unitarias en la hoja b) El espesor de la hoja en función al número de celdas unitarias c) El peso de la hoja d) El factor de empaquetamiento e) El número de átomos de aluminio presentes en 1 mm3

Answer 1

Esta hoja de aluminio tiene un total de $3,95\times 10^{21}$ celdas, su espesor es de 62716 celdas unitarias, pesa 0,00694N, tiene un factor de empaquetamiento de 0,74 y en un milímetro cúbico hay $6,02\times 10^{19}$ átomos.

Explicación paso a paso:

La estructura cristalina del aluminio es cúbica centrada en las caras, de modo que cada celda aporta cuatro átomos. Suponiendo que la estructura sea perpendicular a la superficie del papel:

a) El volumen molar del aluminio es de $10\times 10^{-6}m^3/mol$, mientras que el volumen de la hoja es igual a:

$V=L^2.e=(4'')^2.0,001''\\V=(4.0,0254m)^2.0,001.0,0254m=2,62\times 10^{-7}cm^3$

En el volumen molar entran una cantidad de átomos igual a la constante de Avogadro mientras que en la celda hay 4 átomos, hallemos los moles de aluminio que tiene la hoja:

$n=\frac{V}{V_m}=\frac{2,62\times 10^{-7}}{10\times 10^{-6}}=0,0262mol$

Y el número de celdas es igual a:

$c=\frac{n.A_0}{4}=\frac{0,0262mol.6,02\times 10^{23}}{4}\\\\c=3,95\times 10^{21}$

b) Para hallar la altura de cada celda podemos dividir el volumen molar por la cantidad de celdas que hay en él, teniendo en cuenta que cada una tiene 5 átomos.

$n_{celdas/mol}=\frac{A_0}{4}=1,5\times 10^{23}\\\\vol=\frac{10\times 10^{-6}m^3}{1,2\times 10^{23}}=6,645\times 10^{-29}m^3$

Si la celda es cúbica la altura es:

$a_0=\sqrt[3]{6,645\times 10^{-29}cm^3}=4,05\times 10^{-10}m$

Y el espesor en celdas unitarias es:

$n=\frac{e}{a_0}=\frac{0,001''.0,0254m/1''}{4,05\times 10^{-10}m}=62716$

c) La masa molar del aluminio es de 27 gramos por mol, si tenemos el dato de que la hoja tiene 0,0262 moles, el peso queda:

$P=M.n.g=0,027\frac{kg}{mol}.0,0262mol.9,81\frac{m}{s^2}\\P=6,94\times 10^{-3}N$

d) Al tener el aluminio una estructura cúbica centrada en las caras, su factor de empaquetamiento (conocido como el volumen ocupado por átomos en relación al volumen total) es de 0,74. Si consideramos al átomo como una esfera, por geometría el radio de cada átomo es una cuarta parte de la diagonal de cada cara:

$r=\frac{a_0\sqrt{2}}{4}\\\\v_{at}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (\frac{a_0\sqrt{2}}{4})^3=0,185a_0^3$

Como la celda tiene 4 átomos queda:

$APF=\frac{4v_{at}}{v_c}=\frac{4.0,185a_0^3}{a_0^3}=0,74$

e) 1 milímetro cúbico es igual a $1\times 10^{-9}m^3$, con el dato del volumen molar, la cantidad de moles que tiene un milímetro cúbico es:

$n=\frac{1\times 10^{-9}m^3}{1\times 10^{-5}m^3}=1\times 10^{-4}mol$

Ahora no queda más que multiplicar esta cantidad de moles por la constante de Avogadro.

$n_{at}=A_0.n=1\times 10^{-4}.6,02\times 10^{23}=6,02\times 10^{19}$