Question

El número de células de levadura en un cultivo de laboratorio se incrementa rápidamente al principio, pero terminan estabilizándose con el tiempo (entran en fase estacionaria). La población se modela por la función n= f(t) = a/1+be^−0,7t, donde t se mide en horas.

En el tiempo t=0 la población es de 20 células y se incrementan en 12 células en la primera hora. Hallar los valores de a y b. De acuerdo a este modelo, ¿finalmente que le sucede a la población de levaduras?

Answer 1

Cuando  t  crece mucho, tiende a infinito, se tiene que la población de levaduras tiende a estabilizarse en el valor 78,4.

Explicación:  

Si  f(t)  es el número de células de levadura en el tiempo t (en horas) y  a, b  constantes, la población se modela por la función:  

$\bold {f_{(t)} = \frac {a} {1+b e^{-0,7t}}}$  

Vamos a sustituir los datos aportados y obtener los valores de  a  y  b el modelo de simulación de la población de levaduras:  

Inicialmente    t  =  0,    el número de células es de    f(0)  =  20    células de levadura y luego de    1    hora el número de células es de    f(1)  =  32    células de levadura, entonces  

$20=\frac{a}{1+b\cdot e^{-0.7(0)}} \qquad \Rightarrow \qquad 20=\frac{a}{1+b} \qquad \Rightarrow \qquad a=20\cdot(1+b)$

$32=\frac{a}{1+b\cdot e^{-0.7(1)}}$

Sustituyendo el valor de  a  en la segunda ecuación

$32=\frac{20\cdot(1+b) }{1+b\cdot e^{-0.7}}\qquad \Rightarrow \qquad 32\cdot(1+b\cdot e^{-0.7})=20\cdot(1+b)\qquad \Rightarrow \qquad$

$32+32\cdot b\cdot e^{-0.7}=20+20\cdot b\qquad \Rightarrow \qquad 32-20=20\cdot b-32\cdot b\cdot e^{-0.7}\qquad \Rightarrow \qquad$

$12=b \cdot[20-32\cdot e^{-0.7}]\qquad \Rightarrow \qquad \bold{b=\frac{12}{20-32\cdot e^{-0.7}} \approx 2,92}$

Sustituyendo en  a

$a=20\cdot(1+2,92) \qquad \Rightarrow \qquad \bold{a \approx 78,4}$

Por lo tanto, la función que modela el número de células de levaduras en el instante t es  

$\bold {f_{(t)} \approx \frac{78,4}{1+2,92\cdot e^{-0.7t}}}$  

Evaluamos el modelo de simulación cuando  t  crece mucho, tiende a infinito, se tiene que la población de levaduras tiende a estabilizarse en el valor 78,4.