Question

el nº 725 se escribe 2054 en una base distinta de 10. ¿cual es la base?
resultado 7.

Answer 1

Para poder realizar esta conversión, debemos recordar que para transformar un número de una base x a la base 10, se tiene lo siguiente

725 = 2x³ + 0*x² + 5x + 4

721 = 2x³ + 5x

2x³ + 5x - 721 = 0

Y por lo tanto el resultado de la base es la raíz de este polinomio de grado 3

Un análisis previo nos informa que x ≥ 6 pues se tiene un número 5 en la representación de la base x y esto solo se logra así. Una forma de determinar la raíz de este polinomio es mediante el método de Newton, que nos  da una aproximación a la raíz de una función, esto es

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

En nuestro caso, f(x) = 2x³ + 5x - 721 y x0 = 6, por lo que

$x_{n+1} = x_n - \frac{2x_n^3 + 5x_n - 721}{6x_n^2 + 5} = \frac{6x_n^3 + 5x_n - 2x_n^3 - 5x_n + 721}{6x_n^2 + 5} = \frac{4x_n^3 + 721}{6x_n^2 + 5}\\\\x_{n+1} =\frac{4x_n^3 + 721}{6x_n^2 + 5}$

Es decir

$x_1 = \frac{4(6)^3 + 721}{6^3 + 5} \approx 7.17195\\\\x_2 = \frac{4(7.17195)^3 + 721}{6(7.17195)^2 + 5} \approx 7.004\\\\x_3 = \frac{4(7.004)^3 + 721}{6(7.004)^2 + 5} \approx 7.0000022$

Esto nos da la idea de que x = 7 es una raíz de la función f(x) = 2x³ + 5x - 721, y si probamos f(7) = 2*7³ + 5*7 - 721 = 686 + 35 - 721 = 721 - 721 = 0

Por lo tanto, la base deseada es 7

Answer 2

El número 725 es igual a 2054 en base 7

Tenemos el que el número se escribe como 2054: entonces tenemos que el mismo esta en una base mayor o igual a 6 (que tiene números del 0 al 5), entonces veamos para base 6:

725        |      6

      5    |      120     |   6

                      0      |   20       |       6

                                     2      |         3        |      6

                                                       3                0                

Entonces 725 en base 6: es igual a 3205

Ahora en base 7:

725        |      7

      4    |      103     |   7

                      5      |   14       |       7

                                     0      |       2        |      7

                                                       2            0          

Entonces 725 en base 7: es igual a 2054

Por lo tanto 725 es igual a 2054 en base 7