El movimiento de una partícula se define mediante las ecuaciones x= 12- 8t+ 7 y
y= 0.5t2 +2t - 4, donde X y Y se expresan en metros y t en segundos. Determine a) la magnitud de la velocidad mínima alcanzada por la partícula, b) el tiempo, la posición y la dirección correspondientes a dicha velocidad
Respuestas a la pregunta
Es un movimiento en el plano X Y
Las coordenadas del móvil son:
x = t² - 8 t + 7
y = 0,5 t² + 2 t - 4
La velocidad es la derivada de la posición, que calculamos mediante coordenadas.
Vx = 2 t - 8
Vy = t + 2
La magnitud de la velocidad es:
V = √(Vx² + Vy²)
V = √[(2 t - 8)² + (t + 2)²]
Quitamos paréntesis:
V = √(5 t² - 28 t + 68)
Una función es mínima para su primera derivada nula y segunda derivada positiva
Si es mínima, su cuadrado también.
V² = 5 t² - 28 t + 68
Derivamos: 2 V V' = 10 t - 28 = 0
La segunda derivada es 10, positiva, hay mínimo
Por lo tanto
a) t = 2,8 s
La velocidad mínima es:
V = √(5 . 2,8² - 28 . 2,8 + 68)
V = 5,37 m/s
b) t = 2,8 s
x = 2,8² - 8 . 2,8 + 7 = - 7,56 m
y = 0,5 . 2,8² + 2 . 2,8 - 4 = 5,52 m
Vx = 2 . 2,8 - 8 = - 2,4 m/s
Vy = 2,8 + 2 = 4,8 m/s
Dirección con respecto al eje X +
α = arctg(- 4,8 / 2,4) + 180 (segundo cuadrante)
α = 116,6°
Saludos.